Question

【題目】如圖，□ABCD的兩個頂點B，D都在拋物線y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點E，使以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）動點P從點A出發(fā)向點D運動，同時動點Q從點C出發(fā)向點A運動，運動速度都是每秒1個單位長度，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，運動時間為t（秒）．當t為何值時，△APQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+5；（2）存在點E的坐標為（4，6）（3）或.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出A、B、C、D坐標，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定，求出E點的坐標，然后判斷其是否在函數(shù)的圖像上即可；

（3）當△APQ是直角三角形時，分為∠APQ=90°或∠AQP=90°兩種情況，通過解直角三角形求解即可.

試題解析：解：(1) ∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB= AC=5．

∴tan∠ACB==，∴．

由勾股定理，得OA2+OC2=AC2, ∴()2+OC2=52，解得OC=±4(負值舍去) ．

∴，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A(0，3)，B(-4，0) ，C(4，0) ，D(8，3) ．

∴

解之得

∴拋物線的解析式為y=x2+x+5.

(2)存在.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC=AB= CD.

又∵AD≠CD，

∴當以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，AC=CD=DE=AE

由對稱性可得，此時點E的坐標為（4，6）

當x=4時，y=x2+x+5=6，所以點（4，6）在拋物線y=x2+x+5上.

∴存在點E的坐標為（4，6）

(3) ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°.

∴當△APQ是直角三角形時，∠APQ=90°或∠AQP=90°.

∵，∴.

由題意可知AP=t，AQ=5-t，0≤t≤5.

當∠APQ=90°時， ，∴，解得.

當∠AQP=90°時， ，∴，解得.

∵，

∴或.