Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且圓心O在AB上，弦CD⊥AB于點P，過點D作⊙O的切線交CA的延長線于點M，交BA的延長線于點E，連結(jié)CE．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若CM⊥DE，AM=2，求⊙O的半徑；
（3）設(shè)∠ABC=α，試探究△DEC的內(nèi)切圓半徑r₁與⊙O的半徑r₂的比值（用含α的式子表示）．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接OC、OD，如圖1，根據(jù)垂徑定理得AD弧=AC弧，則∠AOD=∠AOC，再利用“SAS”證明△ODE≌△OCE，得到∠ODE=∠OCE；而根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODE=90°，所以∠COE=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到CE為⊙O的切線；
（2）解：連接AD、BD、OD，如圖2，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，而∠2=∠ODB，∠1+∠ADO=90°，則∠1=∠2，
由圓周角定理得∠2=∠3，所以∠1=∠3，則可證明Rt△MDA∽Rt△MCD，利用相似比得到MD²=MA•MC；由于AD弧=AC弧，則AD=AC，然后利用方程的思想解決問題：設(shè)DM=x，AC=y，則AD=y，MC=2+y，在Rt△MAD中，根據(jù)勾股定理得x²+2²=y²，而x²=2（2+y），消去x得到2²+2（2+y）=y²，解得y₁=-2（舍去），y₂=4，所以DM=2

3

，AD=4，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠1=30°，則∠ADO=60°，于是可判斷△ADO為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到
OD=AD=4；
（3）如圖1，利用切線長定理得到OE平分∠CED，再根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠ACP=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠ACP=∠ABC=α，由（2）的證明方法可得∠ACE=∠ABC=α，即MC平分∠DCE，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得到點A為△CDE的內(nèi)心，于是得到AP=r₁，在Rt△ACB中，根據(jù)正弦的定義得AC=2r₂•sinα，在Rt△APC中，sinα=

r1

2r2•sinα

，然后利用比例的性質(zhì)即可得到

r1

r2

的值．

解答：（1）證明：連接OC、OD，如圖1，
∵弦CD⊥直徑AB，
∴AD弧=AC弧，
∴∠AOD=∠AOC，
在△ODE和△OCE中，

OD=OC ∠DOE=∠COE OE=OE

，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠OCE，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠COE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE為⊙O的切線；
（2）解：連接AD、BD、OD，如圖2，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，
而OD=OB，
∴∠2=∠ODB，
∴∠2+∠ADO=90°，
∵∠ODE=90°，即∠1+∠ADO=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，
∴Rt△MDA∽Rt△MCD，
∴DM：MC=MA：MD，即MD²=MA•MC，
∵AD弧=AC弧，
∴AD=AC，
設(shè)DM=x，AC=y，則AD=y，MC=2+y，
在Rt△MAD中，x²+2²=y²，
而x²=2（2+y），
∴2²+2（2+y）=y²，
整理得y²-2y-8=0，解得y₁=-2（舍去），y₂=4，
∴x=2

3

，即DM=2

3

，AD=4，
∴∠1=30°，
∴∠ADO=60°，
∴△ADO為等邊三角形，
∴OD=AD=4，即⊙O的半徑為4；
（3）解：如圖1，
∵EC和ED為⊙O的切線，
∴OE平分∠CED，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，即∠ABC+∠ACP=90°，
而∠PAC+∠ACP=90°，
∴∠ACP=∠ABC=α，
由（2）可得∠ACE=∠ABC=α，
∴MC平分∠DCE，
∴點A為△CDE的內(nèi)心，
而AP⊥DC，
∴AP為△DEC的內(nèi)切圓半徑，即AP=r₁，
在Rt△ACB中，sin∠ABC=

AC

AB

，
∴AC=2r₂•sinα，
在Rt△APC中，sin∠ACP=

AP

AC

，
即sinα=

r1

2r2•sinα

，
∴

r1

r2

=2sin²α．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)；會利用三角形全等解決角相等的問題，利用銳角三角函數(shù)的定義、三角形相似和勾股定理得到線段之間的數(shù)量關(guān)系；理解三角形內(nèi)心的意義．