Question

【題目】如圖1中的三種情況所示，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)P，如果將線段PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°能得到線段PN，就稱點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的“正矩點(diǎn)”．

（1）在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知，．

①在點(diǎn)P，點(diǎn)Q中，___________是點(diǎn)S關(guān)于原點(diǎn)O的“正矩點(diǎn)”；

②在S，P，Q，M這四點(diǎn)中選擇合適的三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)滿足：

點(diǎn)_________是點(diǎn)___________關(guān)于點(diǎn)___________的“正矩點(diǎn)”，寫出一種情況即可；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“正矩點(diǎn)”記為點(diǎn)C，坐標(biāo)為．

①當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上且OA小于3時(shí)，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的值；

②若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)滿足，直接寫出相應(yīng)的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)P；②見解析；（2）①點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的值為-3；②

【解析】

（1）①在點(diǎn)P，點(diǎn)Q中，點(diǎn)OS繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°能得到線段OP，故S關(guān)于點(diǎn)O的“正矩點(diǎn)”為點(diǎn)P；

②利用新定義得點(diǎn)S是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的“正矩點(diǎn)”（答案不唯一）；

（2）①利用新定義結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，利用新定義的性質(zhì)證明△BCF≌△AOB，則FC=OB求得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；

②用含k的代數(shù)式表示點(diǎn)C縱坐標(biāo)，代入不等式求解即可．

解：（1）①在點(diǎn)P，點(diǎn)Q中，點(diǎn)OS繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°能得到線段OP，故S關(guān)于點(diǎn)O的“正矩點(diǎn)”為點(diǎn)P，

故答案為點(diǎn)P；

②因?yàn)?/span>MP繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得MS，所以點(diǎn)S是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的“正矩點(diǎn)”，同理還可以得點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)S的“正矩點(diǎn)”．（任寫一種情況就可以）

（2）①符合題意的圖形如圖1所示，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，CF⊥y軸于點(diǎn)F，可得

∠BFC=∠AOB=90°．

∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為在x軸的正半軸上，

∵點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“正矩點(diǎn)”為點(diǎn)，

∴∠ABC=90°，BC=BA，

∴∠1＋∠2=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠2＋∠3=90°，

∴∠1=∠3．

∴△BFC≌△AOB，

∴，

可得OE＝3．

∵點(diǎn)A在x軸的正半軸上且，

，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的值為－3．

②因?yàn)?/span>△BFC≌△AOB，，A在軸正半軸上，

所以BF＝OA，所以OF＝OB-OF＝

點(diǎn)，如圖2， -1＜≤2，

即：-1＜ ≤2，

則．