Question

【題目】如圖1中的三種情況所示，對于平面內的點M，點N，點P，如果將線段PM繞點P順時針旋轉90°能得到線段PN，就稱點N是點M關于點P的“正矩點”．

（1）在如圖2所示的平面直角坐標系中，已知，．

①在點P，點Q中，___________是點S關于原點O的“正矩點”；

②在S，P，Q，M這四點中選擇合適的三點，使得這三點滿足：

點_________是點___________關于點___________的“正矩點”，寫出一種情況即可；

（2）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點A關于點B的“正矩點”記為點C，坐標為．

①當點A在x軸的正半軸上且OA小于3時，求點C的橫坐標的值；

②若點C的縱坐標滿足，直接寫出相應的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點P；②見解析；（2）①點C的橫坐標的值為-3；②

【解析】

（1）①在點P，點Q中，點OS繞點O順時針旋轉90°能得到線段OP，故S關于點O的“正矩點”為點P；

②利用新定義得點S是點P關于點M的“正矩點”（答案不唯一）；

（2）①利用新定義結合題意畫出符合題意的圖形，利用新定義的性質證明△BCF≌△AOB，則FC=OB求得點C的橫坐標；

②用含k的代數(shù)式表示點C縱坐標，代入不等式求解即可．

解：（1）①在點P，點Q中，點OS繞點O順時針旋轉90°能得到線段OP，故S關于點O的“正矩點”為點P，

故答案為點P；

②因為MP繞M點順時針旋轉得MS，所以點S是點P關于點M的“正矩點”，同理還可以得點Q是點P關于點S的“正矩點”．（任寫一種情況就可以）

（2）①符合題意的圖形如圖1所示，作CE⊥x軸于點E，CF⊥y軸于點F，可得

∠BFC=∠AOB=90°．

∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴點B的坐標為在x軸的正半軸上，

∵點A關于點B的“正矩點”為點，

∴∠ABC=90°，BC=BA，

∴∠1＋∠2=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠2＋∠3=90°，

∴∠1=∠3．

∴△BFC≌△AOB，

∴，

可得OE＝3．

∵點A在x軸的正半軸上且，

，

∴點C的橫坐標的值為－3．

②因為△BFC≌△AOB，，A在軸正半軸上，

所以BF＝OA，所以OF＝OB-OF＝

點，如圖2， -1＜≤2，

即：-1＜ ≤2，

則．