Question

4．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}$BC，連接OE．下列結論：
①∠CAD=30°
②S_?ABCD=AB•AC
③OB=AB
④OE=$\frac{1}{4}$BC 
成立的有①②④（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 由?ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等邊三角形，又由AB=$\frac{1}{2}$BC，證得①∠CAD=30°；繼而證得AC⊥AB，得②S_?ABCD=AB•AC；可得OE是三角形的中位線，證得④OE=$\frac{1}{4}$BC．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正確；
∵AC⊥AB，
∴S_?ABCD=AB•AC，故②正確，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③錯誤；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE=$\frac{1}{4}$BC．故④正確．
故答案為：①②④．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、三角形中位線的性質以及等邊三角形的判定與性質．注意證得△ABE是等邊三角形，OE是△ABC的中位線是關鍵．