已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2
(1)證明:不論a取何值,拋物線y=x2+ax+a-2的頂點(diǎn)Q總在x軸的下方;
(2)設(shè)拋物線y=x2+ax+a-2與y軸交于點(diǎn)C,如果過點(diǎn)C且平行于x軸的直線與該拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),并設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D,問:△QCD能否是等邊三角形?若能,請(qǐng)求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式;若不能,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)要證明:不論a取何值,拋物線y=x2+ax+a-2的頂點(diǎn)Q總在x軸的下方,只要證明拋物線與x軸,有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即證明x2+ax+a-2=0有兩個(gè)不同的解.即判別式大于0即可.
(2)Q是拋物線的頂點(diǎn),C、D的橫坐標(biāo)相同,因而C、D一定關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,因而△CDQ一定是等腰三角形.如果三角形是等邊三角形,則Q作QP⊥CD,垂足為P,則需QP=
3
2
CD,CD、QP的長(zhǎng)度都可以用a表示出來,因而就可以得到一個(gè)關(guān)于a的方程,就可以求出a的值.
解答:證明:(1):∵判別式△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,
∴拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
又∵拋物線開口向上,
∴拋物線的頂點(diǎn)在x軸下方.
或由二次函數(shù)解析式得:y=(x+
a
2
2-
1
4
a2+a-2.
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)-
1
4
a2+a-2=-[
1
4
(a-2)2+1]<0,
當(dāng)a取任何實(shí)數(shù)時(shí)總成立.
∴不論a取任何值,拋物線的頂點(diǎn)總在x軸下方.
(2)由條件得:拋物線頂點(diǎn)Q(-
a
2
,-
1
4
a2+a-2),點(diǎn)C(0,a-2),當(dāng)a≠0時(shí),過點(diǎn)C存在平行于x軸的直線與拋物線交于另一個(gè)點(diǎn)D,此時(shí)CD=|-a|,點(diǎn)Q到CD的距離為|(a-2)-(-
1
4
a2+a-2)|=
1
4
a2,自Q作QP⊥CD,垂足為P,要使△QCD為等邊三角形,則需QP=
3
2
CD,
1
4
a2=
3
2
|-a|,
∵a≠0,
∴解得a=±2
3
,(或由CD=CQ,或由CP=
1
2
,CQ等求得a的值),
∴△QCD可以是等邊△,
此時(shí)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=x2+2
3
x+2
3
-2或y=x2-2
3
x-2
3
-2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),即對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不同的解.
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A、
3
4
B、-
3
4
C、
5
4
D、-
5
4

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