Question

【題目】如圖1，在△ABC中，I是內心，AB＝AC，O是AB邊上一點，以點O為圓心，OB為半徑的⊙O經過點I．

（1）求證：AI是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接CI交AB于點E，交⊙O于點F，若tan∠IBC＝，求．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）=．

【解析】

(1)延長AI交BC于D，連接OI．由I是△ABC的內心，得到BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．求得∠1=∠3，推出OI∥BD，得到OI⊥AI．于是得到結論；

(2)連接BF，過B作BM⊥CF于M由(1)得AD垂直平分BC，求得BI=CI，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠1=∠4，設法證得FB∥AD，證得△AEI～△BEF，得到．設ID=a，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．

(1)證明：延長AI交BC于D，連接OI．

∵I是△ABC的內心，

∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．

∴∠1=∠3，

∵AB=AC，

∴AD⊥BC．

又∵OB=OI，

∴∠3=∠2．

∴∠1=∠2．

∴OI∥BD，

∴OI⊥AI，

∴AI為⊙O的切線；

(2)解：連接BF，過B作BM⊥CF于M，

由(1)得AD垂直平分BC，

∴BI=CI，

∴∠1=∠4

故∠1=∠2=∠3=∠4=α，

∴∠BOI=180°﹣2α，

∴∠F=∠BOI=90°﹣α，

∴∠F+∠4=90°，

∴∠FBC=∠ADC=90°，

∴FB∥AD，

∴△BEF～△AEI，

∴．

∵DI∥BF，BD=CD，

∴CI=FI，

∴BF=2ID，

故，

設ID=a，

∵，

∴，

由面積法：，

∴，

又∠MIB=2∠1=∠ABD，

∴tan∠MIB=tan∠ABD，

∴，

∴，

∴，

∴．