Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)O處，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，6），點(diǎn)D在y軸上，動(dòng)點(diǎn)P，Q各從點(diǎn)A，D同時(shí)出發(fā)，分別沿AD，DC方向運(yùn)動(dòng)，且速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）探索AQ與BP有什么樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AD的中點(diǎn)處時(shí)，AQ與BP交于點(diǎn)E，求線段CE的長(zhǎng)．
（3）如圖3，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)P仍在線段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ的面積為S，試求S的最小值，及當(dāng)S取最小值時(shí)∠DPF的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：AQ⊥BP，AQ=BP，

理由：當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，

∵動(dòng)點(diǎn)P，Q各從點(diǎn)A，D同時(shí)出發(fā)，分別沿AD，DC方向運(yùn)動(dòng)，且速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴DQ=AP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，

在△ADQ和△BAP中，

，

∴△ADQ≌△BAP（SAS），

∴AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，

又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，

∴∠ABP+∠BAQ=90°，

∴∠AEB=90°，

即AQ⊥BP；

當(dāng)點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，

同理可得，AQ=BP，AQ⊥BP

（2）解：如圖2，延長(zhǎng)AQ，BC交于點(diǎn)G，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AD的中點(diǎn)處時(shí)，AP=DQ= CD，

∴DQ=CQ，

又∵∠ADQ=∠GCQ=90°，∠AQD=∠GQC，

∴在△ADQ和△GCQ中，

，

∴△ADQ≌△GCQ（ASA），

∴AD=CG=BC，

即點(diǎn)C為BG的中點(diǎn)，

∵∠BEG=90°，

∴Rt△BEG中，EC= BG=BC=6

（3）解：運(yùn)動(dòng)t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6﹣t，

∵△BPQ的面積S

=正方形ABCD的面積﹣△ABP的面積﹣△PDQ的面積﹣△BCQ的面積

=36﹣ ×6×t﹣ ×t（6﹣t）﹣ ×6×（6﹣t）

= （t﹣3）2+ ，

∴當(dāng)t=3時(shí)，S取得最小值為 ，

且此時(shí)點(diǎn)P在AD的中點(diǎn)處，

∴DP=DQ=3，

在△DPF和△DQF中，

，

∴△DPF≌△DQF（SAS），

∴∠DPF=∠DQF，

∵Rt△DQA中，tan∠DQA= =2，

∴tan∠DPF=2

【解析】（1）根據(jù)DQ=AP，AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，即可判定△ADQ≌△BAP（SAS），進(jìn)而得出AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，再根據(jù)∠ABP+∠BAQ=90°，可得AQ⊥BP；（2）延長(zhǎng)AQ，BC交于點(diǎn)G，先判定△ADQ≌△GCQ（ASA），得出AD=CG=BC，即點(diǎn)C為BG的中點(diǎn)，再根據(jù)Rt△BEG中，EC= BG=BC，可得EC=6；（3）運(yùn)動(dòng)t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6﹣t，根據(jù)△BPQ的面積=正方形ABCD的面積﹣△ABP的面積﹣△PDQ的面積﹣△BCQ的面積，可得S= （t﹣3）2+ ，進(jìn)而得出當(dāng)t=3時(shí)，S取得最小值為 ，此時(shí)點(diǎn)P在AD的中點(diǎn)處，可判定△DPF≌△DQF（SAS），進(jìn)而得到∠DPF=∠DQF，根據(jù)Rt△DQA中，tan∠DQA= =2，即可得出tan∠DPF=2．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的最值和正方形的性質(zhì)，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．