【題目】構(gòu)造圖形解題,它的應(yīng)用十分廣泛,特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目,如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義,而用通常的代數(shù)方法去思考,經(jīng)常讓我們手足無(wú)措,難以下手,這時(shí),如果能轉(zhuǎn)換思維,發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件,通過(guò)構(gòu)造適合的幾何圖形,將會(huì)得到事半功倍的效果,下面介紹兩則實(shí)例:

實(shí)例一:1876年,美國(guó)總統(tǒng)伽非爾德利用實(shí)例一圖證明了勾股定理:由S四邊形ABCD=SABC+SADE+SABE得:a+b2=2×ab+c2,化簡(jiǎn)得:a2+b2=c2

實(shí)例二:歐幾里得的《幾何原本》記載,關(guān)于x的方程x2+ax=b2的圖解法是:畫(huà)RtABC,使∠ACB=90°BC=,AC=|b|,再在斜邊AB上截取BD=,則AD的長(zhǎng)就是該方程的一個(gè)正根(如實(shí)例二圖).

請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問(wèn)題:

1)如圖1,請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系,寫(xiě)出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是______,乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是______,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______;

2)如圖2,若2-8是關(guān)于x的方程x2+ax=b2的兩個(gè)根,按照實(shí)例二的方式構(gòu)造RtABC,連接CD,求CD的長(zhǎng);

3)若x,yz都為正數(shù),且x2+y2=z2,請(qǐng)用構(gòu)造圖形的方法求的最大值.

【答案】(1)完全平方公式,平方差公式,數(shù)形結(jié)合的思想(2)(3)

【解析】

1)利用面積法解決問(wèn)題即可.

2)如圖2中,作CHABH.由題意,AD=2,BC=BD=3,AC=4,利用面積法求出CH,BH,DH即可解決問(wèn)題;

3)如圖3中,用4個(gè)全等的直角三角形(直角邊分別為x,y,斜邊為z),拼如圖正方形.當(dāng)x+y是定值時(shí),z最小的時(shí)候,定值最小,易知當(dāng)小正方形的頂點(diǎn)是大正方形的中點(diǎn)時(shí),z的值最小,此時(shí)x=yz=x,由此即可解決問(wèn)題.

1)如圖1中,圖甲大正方形的面積=a+b2=a2+2ab+b2,

圖乙中大正方形的面積=a2=a-b2+b2+2ba-b),

a2-b2=a-b)(a-b+2b=a+b)(a-b).

甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是完全平方公式,乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是平方差公式,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想.

故答案為:完全平方公式,平方差公式,數(shù)形結(jié)合的思想.

2)如圖2中,作CHABH

由題意,AD=2,BC=BD=3AC=4,

ACBC=ABCH,

CH= ,

BH=,

DH=BD-BH=,

CD=

3)如圖3中,用4個(gè)全等的直角三角形(直角邊分別為xy,斜邊為z),拼如圖正方形.

當(dāng)x+y是定值時(shí),z最小的時(shí)候,定值最小,

易知當(dāng)小正方形的頂點(diǎn)是大正方形的中點(diǎn)時(shí),z的值最小,此時(shí)x=y,z=x,

最大值=

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(1)若這批牛油果和桔子全部銷售完獲利不低于3500元,則牛油果至少購(gòu)進(jìn)多少千克?

(2)第一批牛油果和桔子很快售完,于是商家決定購(gòu)進(jìn)第二批牛油果和桔子,牛油果和桔子的進(jìn)價(jià)不變,牛油果售價(jià)比第一批上漲a%(其中a為正整數(shù)),桔子售價(jià)比第一批上漲2a%;銷量與(1)中獲得最低利潤(rùn)時(shí)的銷量相比,牛油果的銷量下降a%,桔子的銷量保持不變,結(jié)果第二批中已經(jīng)賣掉的牛油果和桔子的銷售總額比(1)中第一批牛油果和桔子銷售完后對(duì)應(yīng)最低銷售總額增加了2%,求正整數(shù)a的值.

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(1)l的解析式為y=2x+4,判斷此時(shí)點(diǎn)A是否在直線l上,并說(shuō)明理由;

(2)當(dāng)直線lAD邊有公共點(diǎn)時(shí),求t的取值范圍.

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