Question

15．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C是直徑AB上一點，點D在⊙O上，CE⊥CF，BD垂直平分CE于點P，CF交AD于點K，交⊙O于點N．求證：
（1）若EF=AB，則點N為弧AD的中點．
（2）若DC⊥AB，∠ABD=60°，則EF為⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠F+∠E=∠DCF+∠DCE=90°，由BD垂直平分CE于點P，得到DC=DE，推出CD=$\frac{1}{2}$EF，得到點C與O重合，推出CD=$\frac{1}{2}$AB，得到CD=OD，然后根據(jù)垂徑定理得到結(jié)論；
（2）連接OD，推出△BOD是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODC=∠BDC=30°，∠CDB=∠BDE=30°，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵CE⊥CF，
∴∠ECF=90°，
∴∠F+∠E=∠DCF+∠DCE=90°，
∵BD垂直平分CE于點P，
∴DC=DE，
∴∠E=∠DCE，
∴∠F=∠DCF，
∴DF=DC，
∴CD=$\frac{1}{2}$EF，
∵EF=AB，∴點C與O重合，
∵∠ADB=∠ECF=∠CPD=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴CD=OD，
∴四邊形CPDK是矩形，
∴CN⊥AD，即ON⊥AD，
∴$\widehat{AN}=\widehat{DN}$，
∴點N為弧AD的中點；

（2）連接OD，∵∠ABD=60°，OD=OB，
∴△BOD是等邊三角形，
∴OD=BD，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC=∠BDC=30°，
∵DE=DC，BD⊥CE，
∴∠CDB=∠BDE=30°，
∴∠ODE=∠ODC+∠CDB+∠BDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴EF為⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定，等邊三角形的性質(zhì)，相等垂直平分線的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，證得CD=$\frac{1}{2}$AB是解題的關(guān)鍵．