【題目】幾何證明:
(1)已知:如圖1,BD、CE分別是△ABC的外角平分線,過點(diǎn)A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別是F、G,連接FG,延長AF、AG,與直線BC相交.求證:FG=(AB+BC+AC).
(2)若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線,其余條件不變(如圖1),線段FG與△ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,并給予證明.
【答案】(1)見解析;(2)線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=(AB+AC﹣BC),理由見解析
【解析】
(1)利用全等三角形的判定定理ASA證得△ABF≌△MBF,然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)一步推出MB=AB,AF=MF,同理CN=AC,AG=NG,由此可以證明FG為△AMN的中位線,然后利用中位線定理求得FG=(AB+BC+AC);(2)延長AF、AG,與直線BC相交于M、N,與(1)類似可以證出答案.
(1)如圖1,∵AF⊥BD,∠ABF=∠MBF,
∴∠BAF=∠BMF,
在△ABF和△MBF中,
∵,
∴△ABF≌△MBF(ASA)
∴MB=AB
∴AF=MF,
同理:CN=AC,AG=NG,
∴FG是△AMN的中位線
∴FG=MN,
=(MB+BC+CN),
=(AB+BC+AC).
(2)圖2中,F(xiàn)G=(AB+AC﹣BC)
理由如下:如圖2,
延長AG、AF,與直線BC相交于M、N,
∵由(1)中證明過程類似證△ABF≌△NBF,
∴NB=AB,AF=NF,
同理CM=AC,AG=MG
∴FG=MN,
∴MN=2FG,
∴BC=BN+CM﹣MN=AB+AC﹣2FG,
∴FG=(AB+AC﹣BC),
答:線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=(AB+AC﹣BC).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩件服裝的進(jìn)價共500元,商場決定將甲服裝按30%的利潤定價,乙服裝按20%的利潤定價,實(shí)際出售時,兩件服裝均按9折出售,商場賣出這兩件服裝共獲利67元.
(1)求甲乙兩件服裝的進(jìn)價各是多少元;
(2)由于乙服裝暢銷,制衣廠經(jīng)過兩次上調(diào)價格后,使乙服裝每件的進(jìn)價達(dá)到242元,求每件乙服裝進(jìn)價的平均增長率;
(3)若每件乙服裝進(jìn)價按平均增長率再次上調(diào),商場仍按9折出售,定價至少為多少元時,乙服裝才可獲得利潤(定價取整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了更好治理西太湖水質(zhì),保護(hù)環(huán)境,市治污公司決定購買10 臺污水處理設(shè)備,現(xiàn)有A、B兩種型號的設(shè)備,其中每臺的價格,月處理污水量如下表:
經(jīng)調(diào)查:購買-臺A型設(shè)備比購買一-臺B型設(shè)備多2萬元,購買2臺A型設(shè)備比購買4臺B型設(shè)備少4萬元.
(1)求a、b的值;
(2)經(jīng)預(yù)算:市治污公司購買污水處理設(shè)備的資金不超過47萬元,并且該月要求處理西太湖的污水量不低于1860 噸,則有哪幾種購買方案?請指出最省錢的一種購買方案,并指出相應(yīng)的費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,,將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊ON在射線OA上,另一邊OM與OC都在直線AB的上方.
將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周如圖2,經(jīng)過t秒后,ON落在OC邊上,則______秒直接寫結(jié)果.
如圖2,三角板繼續(xù)繞點(diǎn)O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到起點(diǎn)OA上同時射線OC也繞O點(diǎn)以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,
當(dāng)OC轉(zhuǎn)動9秒時,求的度數(shù).
運(yùn)動多少秒時,?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù) 的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出 的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動課上,某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD(∠BAD=120°)進(jìn)行探究:將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB,AD于點(diǎn)E,F(xiàn)(不包括線段的端點(diǎn)).
(1)初步嘗試
如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)類比發(fā)現(xiàn)
如圖2,若AD=2AB,過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,求證:AE=2FH;
(3)深入探究
如圖3,若AD=3AB,探究得: 的值為常數(shù)t,則t= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點(diǎn)E,射線ON交邊DC于點(diǎn)F,連接EF.
(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時,△OEF的形狀是;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時,請判斷△OEF的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點(diǎn)移到AO的中點(diǎn)O′處,∠MO′N繞點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點(diǎn)E,射線O′N交直線CD于點(diǎn)F,當(dāng)BC=4,且 = 時,直接寫出線段CE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲乙兩人在游泳池A處發(fā)現(xiàn)游泳池中的P處有人求救,甲立即跳入池中去救人,速度為1米/秒,乙以3.5米/秒的速度沿游泳池邊跑到距A不遠(yuǎn)處的B處,撿起一個游泳圈再跳入池中去救人,甲游了20秒到達(dá)P處,兩秒后乙到達(dá)P處.若∠PAB與∠PBC互余,且cos∠PBC= ,求乙的游泳速度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近期電視劇《人民的名義》熱播,某!霸拕”硌荨鄙鐖F(tuán)在本校學(xué)生中開展學(xué)生知曉情況專題調(diào)查活動,采取隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行問卷調(diào)查,問卷調(diào)查的結(jié)果分為A,B,C,D四類.其中,A類表示“自己看過”,B類表示“聽家長講過”,
C類表示“聽同學(xué)講過”,D類表示“不知道”,劃分類別后的數(shù)據(jù)整理如表:
類別 | A | B | C | D |
頻數(shù) | 30 | 40 | 24 | b |
頻率 | a | 0.4 | 0.24 | 0.06 |
(1)表中的a=b=;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求扇形統(tǒng)計(jì)圖中類別為B的學(xué)生數(shù)所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(3)若該校有學(xué)生1000名,根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生中類別為C的人數(shù)約為多少?
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