Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，半徑為1的⊙O分別交x軸、y軸于A、B、C、D四點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C且與直線AC只有一個公共點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（3）點(diǎn)P為（2）中拋物線上的點(diǎn)，由點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，問：此拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PQB∽△ADB？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），
設(shè)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（-1，0），C（0，-1）代入得，
解得，
故直線AC的解析式為y=-x-1；

（2）∵拋物線過C（0，-1），
∴x²+（b+1）x=0，
∵直線AC與拋物線只有一個公共點(diǎn)C，
∴方程x²+（b+1）x=O有兩個相等實數(shù)根，
即△=0，
∴b₁=b₂=-1，
∴拋物線解析式為y=x²-x-1；

（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a²-a-1），則Q（a，0），
∵△ADB為等腰直角三角形，△PQB∽△ADB，
∴△PQB為等腰直角三角形，又PQ⊥QB，
∴PQ=QB即|a²-a-1|=|a-1|，
當(dāng)a²-a-1=a-1時，
解得：a₁=0，a₂=2；
當(dāng)a²-a-1=-（a-1）時，
解得：a₃=，a₄=-，
∴a₁=0，a₂=2，a₃=，a₄=-，
∴存在符合條件的點(diǎn)P，共有四個，
分別為P₁（O，-1）、P₂（2，1）、P₃（，1-）、P₄（-，1+）．
分析：（1）因為⊙O的半徑為1，所以可知A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式．
（2）因為C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），拋物線過C點(diǎn)，所以c=-1，將y=-x-1代入解析式y(tǒng)=x²+bx-1得x²+（b+1）x=0，因為拋物線與直線只有一個交點(diǎn)，故判別式△=0，可求得b的值；
（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，判斷出PQ=QB，列出關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，即可解答．
點(diǎn)評：此題將二次函數(shù)、一次函數(shù)和圓的相關(guān)知識相結(jié)合，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)與函數(shù)解析式組成的方程組解的個數(shù)的關(guān)系以及點(diǎn)的存在性問題，有一定的開放性．