Question

9．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）填空：∠AEB的度數(shù)為60°；
拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，連接BE、CM、EM，求證：CM=EM．

Answer 1

分析 （1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形證出AD=BE；
（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通過等量代換得到∠DCB=∠EBC，由內(nèi)錯(cuò)角相等得到CD∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE為等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因?yàn)辄c(diǎn)A，D，E在同一直線上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，然后又直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB，
∴∠DCB=∠EBC，
∴CD∥BE，
∴∠AEB=∠CDE=60°．
故答案為：60°；

（3）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
∵∠AEB=∠ACB=90°，
∴CM=EM=$\frac{1}{2}$AB，
即CM=EM．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．