Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若，求的面積；

（3）如圖2，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線上，同時(shí)使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在坐標(biāo)軸上，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+4 (2) (3) 點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（ ）

【解析】

（1）由于拋物線交y軸于點(diǎn)C，直線y=-x+4也經(jīng)過點(diǎn)C，令x=0代入直線即求得點(diǎn)C坐標(biāo)．再用待定系數(shù)法即求出拋物線解析式．
（2）由OB=OC可得∠OBC=45°，所以過點(diǎn)D作BC的垂線并交直線CP于點(diǎn)F，可證得∠OBF=45°，即得到點(diǎn)F橫坐標(biāo)與B相等，縱坐標(biāo)=BF=BD，由直線CD解析式求得點(diǎn)D即求出BD的長，進(jìn)而得點(diǎn)F坐標(biāo)，可求直線CP解析式．把直線CP解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)P坐標(biāo)．求直線CP與x軸交點(diǎn)G，可得△PCD面積等于△CDG面積減去△PDG面積，代入計(jì)算即求得△PCD面積．
（3）由于點(diǎn)P'落在坐標(biāo)軸上，故有兩種情況需分類討論．①當(dāng)點(diǎn)P'在y軸上時(shí)，由∠PCH=∠P'CH'與∠OCB=∠BCH=45°可得∠DCB=∠PCB，由第（2）可知此時(shí)P（ ， ）．②當(dāng)點(diǎn)P'在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為p，則能用p表示P'H'、CH'．過點(diǎn)H'作x軸的垂線MN，證得∠H'P'M=∠CH'N=∠OCD，則由∠OCD的三角函數(shù)值可求得用p表示的MH'即列方程，進(jìn)而求得p的值．

（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+4=4
∴C（0，4）
∵拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)B（4，0）、C（0，4）
∴ 解得：

∴拋物線解析式為y=-x2+x+4
（2）如圖1，直線CP與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥CB于點(diǎn)E，交直線CP于點(diǎn)F，連接BF．

∴∠CED=∠CEF=90°
在△CDE與△CFE中

∴△CDE≌△CFE（ASA）
∴DE=FE，即BC垂直平分DF
∴BD=BF
∵B（4，0），C（0，4）
∴OB=OC
∴∠OBC=45°
∴∠CBF=∠OBC=45°
∴∠DBF=90°
∵當(dāng)y=-x+4=0時(shí)，解得：x=3
∴D（3，0）
∴BF=BD=4-3=1
∴F（4，1）
設(shè)直線CF解析式為y=kx+4
∴4k+4=1 解得：k=-

∴直線CP：y=-x+4
當(dāng)y=0時(shí)，-x+4=0，解得：x=

∴G（，0），DG=-3=

∵

解得： （即點(diǎn)C），

∴P（）
∴S△PCD=S△CDG-S△PDG=DGOC-DGyP=DG（OC-yP）=× ×（4- ）=

∴△PCD的面積為

（3）①若點(diǎn)P'落在y軸上，如圖2，

∵△CPH繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得△CP'H'，H'在直線CD上
∴∠PCH=∠PCH'
∵∠OCB=∠BCH=45°
∴∠OCB-∠OCH'=∠BCH-∠PCH
即∠DCB=∠PCB
由（2）可得此時(shí)點(diǎn)P（）

②若點(diǎn)P'落在x軸上，如圖3，過點(diǎn)H'作MN⊥x軸于點(diǎn)M，交直線l于點(diǎn)N

∴四邊形OCNM是矩形
∴MN=OC=4，
∵OD=3，∠COD=90°
∴CD=

∴sin∠OCD= ，cos∠OCD= ，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（p，-p2+p+4）（0＜p＜4）
∴CH'=CH=p，P'H'=PH=4-（-p2+p+4）=p2-p
∵MN∥y軸
∴∠CH'N=∠OCD
∴Rt△CNH'中，cos∠CH'N=

∴NH'=CH'=p
∴MH'=MN-NH'=4-p
∵∠P'MH'=∠P'H'C=90°
∴∠P'H'M+∠CH'N=∠P'H'M+∠H'P'M=90°
∴∠H'P'M=∠CH'N
∴Rt△H'P'M中，sin∠H'P'M=

∴

解得：p1=-4（舍去），p2=

∴-p2+p+4=-

∴P（ ）
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（ ）