Question

【題目】如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF，則下列結(jié)論： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2 ， 其中正確的有（ ）個．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．
在△AED與△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°．
∵點D、E為BC邊上的兩點，∠DAE=45°，
∴AD與AE不一定相等，∠AED與∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE與∠CAD不一定相等，
∴△ABE與△ACD不一定相似，②錯誤；③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD與△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正確；④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2 ，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2 ， ④正確．
所以正確的結(jié)論有①③④．
故選C．

【考點精析】利用勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．