Question

已知：二次函數(shù)y=a（x-1）²+4的圖象如圖所示，拋物線交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，用A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）連接AC、BC，E是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、C兩點(diǎn)重合），過E點(diǎn)作直線PE⊥y軸交線段AC于點(diǎn)P，交線段BC于點(diǎn)Q．求證：=．
（3）設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），在線段AB上是否存在一點(diǎn)R，使得以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出n的值，并畫出相應(yīng)的示意圖；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）解：把A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，得a（-1-1）²+4=0，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
令y=0，-（x-1）²+4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（2）證明：∵直線PE⊥y軸交線段AC于點(diǎn)P，交線段BC于點(diǎn)Q，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴=；

（3）解：在線段AB上存在一點(diǎn)R，使得以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．理由如下
對(duì)于y=-（x-1）²+4，令x=0，y=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴△OBC為等腰直角三角形，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得，，
解得k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3；
同理可得直線AC的解析式為：y=-3x+3；
∵E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），0＜n＜3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-n，n），
∴QP=3-n-（-1）=4-；
若以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，
∴以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，
當(dāng)∠PQR=90°，QR=QP，如圖，
∵PQ∥AB，
∴QR⊥AB，
∴QR=OE=n，
∴n=4-，
解得n=，
∴R的坐標(biāo)為（，0），
當(dāng)∠QPR=90°，PQ=PR，同理可得n=，得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-，），則R點(diǎn)坐標(biāo)為（-，0）；
當(dāng)∠PRQ=90°，RP=RQ，過R作RH⊥PQ于H，如圖，
∴HR=PQ，
∴n=（4-），
解得n=，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
∴R點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．
所以當(dāng)n=，R的坐標(biāo)為（，0）或（-，0）；當(dāng)n=，R點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．
分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，可求得a=-1，然后令y=0，得到-（x-1）²+4=0，解方程得到x₁=-1，x₂=3，即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由直線PE⊥y軸交線段AC于點(diǎn)P，交線段BC于點(diǎn)Q，得到PQ∥AB，則△CPQ∽△CAB，即可得到結(jié)論；
（3）利用待定系數(shù)法分別求出直線BC的解析式為：y=-x+3；直線AC的解析式為：y=-3x+3；由E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），0＜n＜3，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-n，n），則QP=3-n-（-1）=4-；若以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，則以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，然后分類討論：當(dāng)∠PQR=90°，QR=QP，得到n=4-；當(dāng)∠PRQ=90°，RP=RQ，過R作RH⊥PQ于H，根據(jù)HR=PQ，得到n=（4-），分別解方程可得到n的值和對(duì)應(yīng)的R點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法；也考查了利用待定系數(shù)法求直線解析式、三角形相似的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．