Question

2．以A為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，D在BC邊上，E在AB邊上，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)，連接FC，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠FCA．
（1）如圖1，若AB=$\sqrt{6}$，∠BAC=30°，求S_△ABC；
（2）如圖1，求證：FA=FC；
（3）如圖2，延長CF交AB于G，延長AB到M使GM=AC，連接CM，∠BAD=∠BCG，N是GC的中點(diǎn)，探究AN與CM之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）要求△ABC的面積，作AC邊上的高即可．
（2）欲證明AF=FC，只要證明∠CAD=∠ACF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)定理結(jié)合已知條件即可證明．
（3）延長CA至點(diǎn)H，構(gòu)造△CAH≌△CBM，再證明AN是△GCH的中位線即可．

解答 解：（1）如圖1中，作BK⊥AC垂足為K．
在RT△ABK中，∵AB=$\sqrt{6}$，∠BAK=30°，
∴BK=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵AB=AC=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BK=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{6}$=$\frac{3}{2}$．
（2）如圖1中，∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CAD+∠ACD=∠ADE+∠EDB，∠EDB+∠ABD=∠AED，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠CAD+∠ACD=∠EDB+∠ABD+∠EDB，
∴∠CAD=2∠EDB，
∵∠ACF=2∠EDB，
∴∠CAD=∠ACF，
∴FA=FC．
（3）如圖2延長GA至點(diǎn)H，使AG=AH，連接BH，
∵點(diǎn)N是CG的中點(diǎn)，
∴AN=$\frac{1}{2}$CH，
∵∠CAD=∠ACF（2）中已證明，∠DAC=∠CBG，
∴∠CAB=∠BCA，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∠BAC=∠CBA=60°，
∴∠CAH=∠CBM=120°，
∵GM=AC，AC=AB，
∴BM=AG，
∴AH=BM，
在△CAH和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAH=∠CBM}\\{AH=BM}\end{array}\right.$，
∴△CAH≌△CBM（SAS），
∴CH=CM，
∴AN=$\frac{1}{2}$CM．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，借助于三角形中位線定理解決問題．