【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y= 與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BC的垂線,交對稱軸于點(diǎn)E.

(1)求證:點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱;
(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)的拋物線上的一動點(diǎn),當(dāng)△PAE的面積最大時,在對稱軸上找一點(diǎn)M,在y軸上找一點(diǎn)N,使得OM+MN+NP最小,求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及OM+MN+NP的最小值;
(3)如圖2,平移拋物線,使拋物線的頂點(diǎn)D在射線AD上移動,點(diǎn)D平移后的對應(yīng)點(diǎn)為D′,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′,設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,將△FBC沿BC翻折,使點(diǎn)F落在點(diǎn)F′處,在平面內(nèi)找一點(diǎn)G,若以F′、G、D′、A′為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,求平移的距離.

【答案】
(1)證明:如圖1中,令y=0,得到 x2 x﹣3=0,解得x=﹣ 或3 ,

∴A(﹣ ,0),B(3 ,0),

令x=0,可得y=﹣3,

∴C(0,﹣3),

∵y= x2 x﹣3= (x﹣ 2﹣4,

∴頂點(diǎn)D( ,﹣4),設(shè)對稱軸與x軸交于F,則BF=2 ,

∵△EFB∽△BOC,

=

= ,

∴EF=4,

∴E( ,4),

∴E、D關(guān)于x軸對稱.


(2)過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交直線AE于點(diǎn)Q.

∵yAE= x+2,

∴設(shè)P(a, a2 a﹣3),Q(a, a+2),(0<a<3 ),

∴PQ=( a+2)﹣( a2 a﹣3)=﹣ a2+2 a+5,

∴SPAE= PQ|xE﹣xA|= (﹣ a2+2 a+5)2 =﹣ a2+4a+5 ,

∴當(dāng)a=﹣ =2 時,SPAE最大,此時P(2 ,﹣3),

作點(diǎn)O關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)O′(2 ,0),作點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)P′(﹣2 ,﹣3),連接O′P′,分別交對稱軸、y軸于點(diǎn)M、N,此時M、N即為所求.

∴yP′O′= x﹣ ,當(dāng)x= 時,y=﹣ ,

∴M( ,﹣ ),

∴OM+MN+NP的最小值O′P′= =


(3)∵F′( ,﹣ ),A(﹣ + t,﹣2t),D( ,﹣4),

設(shè)平移距離為 t,則A′(﹣ + t,﹣2t),D′( + t,﹣4﹣2t),

A′F2=6t2﹣24t+ ,D′F′2=6t2+ ,A′D′2=24,

①當(dāng)A′F2=D′F′2時,6t2﹣24t+ =6t2+ ,解得t=1.

②當(dāng)A′F′2=A′D′2時,6t2﹣24t+ =24,解得t=

③當(dāng)D′F′2=A′D′2時,24=6t2+ ,解得t= 或﹣ (舍棄),

∴平移的距離 t= , ,


【解析】(1)首先求出A、B、C、D的坐標(biāo),再根據(jù)△EFB∽△BOC對應(yīng)邊成比例得出方程,推出EF的長度,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可解決問題;
(2)過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交直線AE于點(diǎn)Q.構(gòu)建 二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),作點(diǎn)O關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)O′,作點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)P′,連接O′P′,分別交對稱軸、y軸于點(diǎn)M、N,此時M、N即為所求;
(3)由題意得F,A,D三點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)平移距離為 t,則得出A′,D′的坐標(biāo),可得A′F2,,D′F′2,A′D′2的長度,然后分三種情形①當(dāng)A′F2=D′F′2時,②當(dāng)A′F′2=A′D′2時,③當(dāng)D′F′2=A′D′2時列出方程即可解決問題。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解作軸對稱圖形的相關(guān)知識,掌握畫對稱軸圖形的方法:①標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)②數(shù)方格,標(biāo)出對稱點(diǎn)③依次連線,以及對相似三角形的性質(zhì)的理解,了解對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在東西向的馬路上有一個巡崗?fù)?/span>A,巡崗員甲從崗?fù)?/span>A出發(fā)以13km/h速度勻速來回巡邏,如果規(guī)定向東巡邏為正,向西巡邏為負(fù),巡邏情況記錄如下:(單位:千米)

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

第七次

4

-5

3

-4

-3

6

-1

1)求第六次結(jié)束時甲的位置(在崗?fù)?/span>A的東邊還是西邊?距離多遠(yuǎn)?)

2)在第幾次結(jié)束時距崗?fù)?/span>A最遠(yuǎn)?距離A多遠(yuǎn)?

3)巡邏過程中配置無線對講機(jī),并一直與留守在崗?fù)?/span>A的乙進(jìn)行通話,問在甲巡邏過程中,甲與乙的保持通話時長共多少小時?

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【題目】學(xué)校準(zhǔn)備從甲乙兩位選手中選擇一位選手代表學(xué)校參加所在地區(qū)的漢字聽寫大賽,學(xué)校對兩位選手從表達(dá)能力、閱讀理解、綜合素質(zhì)和漢字聽寫四個方面做了測試,他們各自的成績(百分制)如表:

選手

表達(dá)能力

閱讀理解

綜合素質(zhì)

漢字聽寫


85

78

85

73


73

80

82

83

1)由表中成績已算得甲的平均成績?yōu)?/span>80.25,請計算乙的平均成績,從他們的這一成績看,應(yīng)選派誰;

2)如果表達(dá)能力、閱讀理解、綜合素質(zhì)和漢字聽寫分別賦予它們2、1、34的權(quán),請分別計算兩名選手的平均成績,從他們的這一成績看,應(yīng)選派誰.

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【題目】周末小麗從家里出發(fā)騎單車去公園,因為她家與公園之間是一條筆直的自行車道,所以小麗騎得特別放松.途中,她在路邊的便利店挑選一瓶礦泉水,耽誤了一段時間后繼續(xù)騎行,愉快地到了公園,圖中描述了小麗路上的情景,下列說法中正確的是_______

①小麗在便利店停留時間為15分鐘

②公園離小麗家的距離為2000

③小麗從家到達(dá)公園共用時間20分鐘

④小麗從家到便利店的平均速度為100/分鐘

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【題目】如圖所示,在ABC中,ACB=90°點(diǎn)EAB的中點(diǎn),連接CE,過點(diǎn)EEDBC于點(diǎn)D,在DE的延長線上取一點(diǎn)F,使AFCE,求證四邊形ACEF是平行四邊形.

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【題目】有一科技小組進(jìn)行了機(jī)器人行走性能試驗,在試驗場地有A、B、C三點(diǎn)順次在同一筆直的賽道上,A、B兩點(diǎn)之間的距離是90米,甲、乙兩機(jī)器人分別從A、B兩點(diǎn)同時同向出發(fā)到終點(diǎn)C,乙機(jī)器人始終以50米分的速度行走,乙行走9分鐘到達(dá)C點(diǎn).設(shè)兩機(jī)器人出發(fā)時間為t(分鐘),當(dāng)t3分鐘時,甲追上乙.

請解答下面問題:

1B、C兩點(diǎn)之間的距離是   米.

2)求甲機(jī)器人前3分鐘的速度為多少米/分?

3)若前4分鐘甲機(jī)器人的速度保持不變,在4≤t≤6分鐘時,甲的速度變?yōu)榕c乙相同,求兩機(jī)器人前6分鐘內(nèi)出發(fā)多長時間相距28米?

4)若6分鐘后甲機(jī)器人的速度又恢復(fù)為原來出發(fā)時的速度,直接寫出當(dāng)t6時,甲、乙兩機(jī)器人之間的距離S.(用含t的代數(shù)式表示).

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【題目】下列說法正確的有(

①不相交的兩條直線是平行線;

②經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行;

③兩條直線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ);

④在同一平面內(nèi),若直線,則直線平行.

A.B.C.D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某次學(xué)生夏令營活動,有小學(xué)生、初中生、高中生和大學(xué)生參加,共200人,各類學(xué)生人數(shù)比例見扇形統(tǒng)計圖.

(1)參加這次夏令營活動的初中生共有多少人?

(2)活動組織者號召參加這次夏令營活動的所有學(xué)生為貧困學(xué)生捐款.結(jié)果小學(xué)生每人

捐款 5 元,初中生每人捐款 10 元,高中生每人捐款 15 元,大學(xué)生每人捐款 20 元.問平均 每人捐款是多少元?

(3)在(2)的條件下,把每個學(xué)生的捐款數(shù)額(以元為單位)——記錄下來,則在這組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,CD=2,則AC等于( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

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