Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．

（1）求證：點(diǎn)D在⊙O上；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵△ADE是直角三角形，OA=OE，

∴OD=OA=OE，

∴點(diǎn)D在⊙O上

（2）

證明：∵AD是∠BAC的角平分線，

∴∠CAD=∠DAB，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠C=∠ODB=90°，

∴BC是⊙O的切線

（3）

解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，

∴根據(jù)勾股定理得：AB=10，

設(shè)OD=OA=OE=x，則OB=10﹣x，

∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，

∴ ，∴ ，

解得：x= ，

∴OD= ，BE=10﹣2x=10﹣ = ，

∵ ，即 ，

∴BD=5，

過(guò)E作EH⊥BD，

∵EH∥OD，

∴△BEH∽△BOD，

∴ ，

∴EH= ，

∴S△BDE= BDEH= ．

【解析】（1）連接OD，由DO為直角三角形斜邊上的中線，得到OD=OA=OE，可得出點(diǎn)D在圓O上；（2）由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由OD=OA，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得到∠ODB為直角，即BC與OD垂直，即可確定出BC為圓O的切線；（3）過(guò)E作EH垂直于BC，由OD與AC平行，得到△ACB與△ODB相似，設(shè)OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OD與BE的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出BD的長(zhǎng)，再由△BEH與△ODB相似，由相似得比例求出EH的長(zhǎng)，△BED以BD為底，EH為高，求出面積即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握切線的判定定理(切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．