Question

有一種產(chǎn)品的質(zhì)量分成6種不同檔次，若工時(shí)不變，每天可生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品40件；如果每提高一個(gè)檔次，每件利潤可增加1元，但每天要少生產(chǎn)2件產(chǎn)品．
（1）若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤17元時(shí)，生產(chǎn)哪一種檔次的產(chǎn)品的利潤最大？并求最大利潤．
（2）由于市場價(jià)格浮動(dòng)，生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤可以從8元到24元不等，那么生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得利潤最大？

Answer 1

分析：（1）關(guān)系式為：利潤=（最低檔次的利潤+檔次-1）×[原來可生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)-2（檔次-1）]，求得相關(guān)代數(shù)式后，可利用頂點(diǎn)式求得相應(yīng)的對稱軸，進(jìn)而根據(jù)檔次為整數(shù)求得離對稱軸最近的整數(shù)檔次即可；
（2）結(jié)合（1）可得相應(yīng)關(guān)系式，進(jìn)而用頂點(diǎn)式可得相應(yīng)的最大值，根據(jù)生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤的取值范圍可得相應(yīng)檔次產(chǎn)品的檔次．

解答：解：（1）設(shè)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品，獲得利潤為y元，則y=[40-2（x-1）][17+（x-1）]
即y=-2(x-

5

2

)2+684.5
∴當(dāng)x=2.5時(shí)，y的最大值為684.5
∵x為正整數(shù)
∴x=2時(shí)，y=684，x=3時(shí)，y=684，
∴當(dāng)生產(chǎn)第2檔次或第3檔次的產(chǎn)品時(shí)所獲得利潤最大，最大利潤為684元；

（2）設(shè)生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤為a元，生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品，獲得利潤為y元，
則y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
即y=-2(x-

22-a

2

)2+

a2+40a+400

2

∴當(dāng)x=

22-a

2

時(shí)，y_最大=

a2+40a+400

2

=

(a+20)2

2

∵8≤a≤24，x為1到6的整數(shù)，
∴

22-a

2

＞0，a取最大值時(shí)，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必須a=20，即x=

22-20

2

=1，
即生產(chǎn)第1檔次的產(chǎn)品所得利潤最大．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)的應(yīng)用；得到每件產(chǎn)品的利潤及銷售量是解決本題的關(guān)鍵；根據(jù)最低檔次的產(chǎn)品的利潤的相應(yīng)的取值判斷出相應(yīng)檔次是解決本題的難點(diǎn)．