Question

有一種產(chǎn)品的質量分成6種不同檔次，若工時不變，每天可生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品40件；如果每提高一個檔次，每件利潤可增加1元，但每天要少生產(chǎn)2件產(chǎn)品．
（1）若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤17元時，生產(chǎn)哪一種檔次的產(chǎn)品的利潤最大？并求最大利潤．
（2）由于市場價格浮動，生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤可以從8元到24元不等，那么生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）關系式為：利潤=（最低檔次的利潤+檔次-1）×[原來可生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)-2（檔次-1）]，求得相關代數(shù)式后，可利用頂點式求得相應的對稱軸，進而根據(jù)檔次為整數(shù)求得離對稱軸最近的整數(shù)檔次即可；
（2）結合（1）可得相應關系式，進而用頂點式可得相應的最大值，根據(jù)生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤的取值范圍可得相應檔次產(chǎn)品的檔次．
解答：解：（1）設生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品，獲得利潤為y元，則y=[40-2（x-1）][17+（x-1）]
即
∴當x=2.5時，y的最大值為684.5
∵x為正整數(shù)
∴x=2時，y=684，x=3時，y=684，
∴當生產(chǎn)第2檔次或第3檔次的產(chǎn)品時所獲得利潤最大，最大利潤為684元；

（2）設生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤為a元，生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品，獲得利潤為y元，
則y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
即
∴當x=時，y_最大==
∵8≤a≤24，x為1到6的整數(shù)，
∴＞0，a取最大值時，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必須a=20，即x==1，
即生產(chǎn)第1檔次的產(chǎn)品所得利潤最大．
點評：考查二次函數(shù)的應用；得到每件產(chǎn)品的利潤及銷售量是解決本題的關鍵；根據(jù)最低檔次的產(chǎn)品的利潤的相應的取值判斷出相應檔次是解決本題的難點．