Question

9．已知：P是正方形ABCD對角線AC上一點，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分別為垂足．
（1）求證：DP=EF．
（2）試判斷DP與EF的位置關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)PB，由正方形的性質(zhì)得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下來證明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后證明四邊形BFPE是矩形，由矩形的對角線相等可得到BP=EF，從而等量代換可證得問題的答案；
（2）延長DP交EF于G，延長EP交CD于H，連接PB．由（1）可知△CBP≌△CDP，依據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得到∠CDP=∠CBP，由四邊形EPFB是矩形可證明∠CBP=∠FEP，從而得到∠HDP=∠FEP，由∠DPH+∠PDH=90°可證明∠EPG+∠PEG=90°，從而可得到問題答案．

解答 證明：（1）如圖1所示：連結(jié)PB．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四邊形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．
（2）DP⊥EF．
理由：如圖2所示：延長DP交EF于G，延長EP交CD于H，連接PB．

∵△CBP≌△CDP，
∴∠CDP=∠CBP．
∵四邊形BFPE是矩形，
∴∠CBP=∠FEP．
∴∠CDP=∠FEP．
又∵∠EPG=∠DPH．
∴∠EGP=∠DHP．
∵PE⊥AB，AB∥DC
∴PH⊥DC．即∠DHP=90°．
∴∠EGP=∠DHP=90°
∴PG⊥EF，即DP⊥EF．

點評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定，證得∠CDP=∠FEP是解題的關(guān)鍵．