Question

如圖（1）已知，矩形ABDC的邊AC=3，對(duì)角線長(zhǎng)為5，將矩形ABDC置于直角坐系內(nèi)，點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合．且反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的一個(gè)分支位于第一象限．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若矩形ABDC從圖（1）的位置開始沿x軸的正方向移動(dòng)，每秒移動(dòng)1個(gè)單位，1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的圖象上，求k的值；
（3）矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動(dòng)，AB、AC與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q如圖（2），設(shè)移動(dòng)的總時(shí)間為t（1＜t＜5），分別寫出△BPD的面積S₁、△DCQ的面積S₂與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在（3）的情況下，當(dāng)t為何值時(shí)，S₂=

10

7

S₁？

Answer 1

分析：（1）連接OA，根據(jù)勾股定理求出OC，即可得出答案；
（2）求出A的坐標(biāo)，把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出k即可；
（3）求出BP，根據(jù)三角形的面積公式求出S₁即可；求出t秒后A的坐標(biāo)，得出Q的橫坐標(biāo)，代入解析式求出Q的縱坐標(biāo)，求出CQ，根據(jù)三角形的面積公式求出S₂即可；
（4）把S₁、S₂代入已知，得出關(guān)于t的方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）連接OA，OA=5，AC=3，
由勾股定理得：OC=

AO2-AC2

=

52-32

=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3）．

（2）4+1=5，
∴1秒后點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，3），
代入y=

k

x

得：3=

k

5

，
∴k=15．

（3）∵A在雙曲線上時(shí)t=1，
∴AP=t-1，
BP=BA-AP=4-（t-1）=5-t，
∴S₁=

1

2

BP×BD=

1

2

×（5-t）×3=-

3

2

t+

15

2

，
t秒后A的坐標(biāo)是（4+t，3），
把x=4+t代入y=

15

x

得：y=

15

4+t

，
∴Q的坐標(biāo)是（4+t，

15

4+t

），
∴S₂=

1

2

×DC×CQ=

1

2

×4×

15

4+t

=

30

4+t

，
即S₁=-

3

2

t+

15

2

，S₂=

30

4+t

（4）∵S₂=

10

7

S₁，
∴

30

4+t

=

10

7

×（-

3

2

t+

15

2

），
解得：t=3，t=-2（舍去），
當(dāng)t=3時(shí)，S₂=

10

7

S₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，主要考查了學(xué)生的計(jì)算能力和運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目較好，難度適中．