Question

△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當射線DN經(jīng)過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當△DEF的面積等于△ABC的面積的時，求線段EF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，證明見解析

【解析】解：（1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。（3）5

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，證明如下：

∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。

∵AB=AC，∴∠B=∠C�！唷鰾DF∽△CED�！�。

∵BD=CD，∴，即。

又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF�！唷鰾DF∽△CED∽△DEF。  

（3）連接AD，過D點作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．

 

 

∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，BD=BC=6。

在Rt△ABD中，AD²=AB²﹣BD²，即AD²=10²﹣6²，

∴AD=8。

∴S_△ABC=•BC•AD=×12×8=48，

S_△DEF=S_△ABC=×48=12。

又∵•AD•BD=•AB•DH，∴。

∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。  

∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。

又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）。∴DH=DG=。

∵S_△DEF=·EF·DG=·EF·=12，∴EF=5。

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE：

 ∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD。

又∵∠MDN=∠B，∴△ADE∽ABD。

同理可得：△ADE∽△ACD。

∵∠MDN=∠C=∠B，∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，∠B=∠MDN，

∴∠BAD=∠EDC。

∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE�！唷鰽DE∽△DCE。

（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出，從而得出△BDF∽△CED∽△DEF。

（3）利用△DEF的面積等于△ABC的面積的，求出DH的長，從而利用S_△DEF的值求出EF即可