Question

如圖（1），拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，）．［圖（2）、圖（3）為解答備用圖］

（1）　　　　　，點A的坐標為　　　　　　，點B的坐標為　　　　　；

（2）設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）在拋物線上求點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

 

        （1）                   （2）                    （3）

Answer 1

解：（1），A（-1，0），

B（3，0）．

（2）如圖（1），拋物線的頂點為M（1，-4），連結OM．

則 △AOC的面積=，△MOC的面積=，

△MOB的面積=6，

∴ 四邊形 ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．

說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面

積轉化為求1個梯形與2個直角三角形面積的和．

（3）如圖（2），設D（m，），連結OD．

則 0＜m＜3， ＜0．

且 △AOC的面積=，△DOC的面積=，                  

△DOB的面積=－（），

∴ 四邊形 ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積

=

=．

∴ 存在點D，使四邊形ABDC的面積最大為．

（4）有兩種情況：

 

如圖（3），過點B作BQ₁⊥BC，交拋物線于點Q₁、交y軸于點E，連接Q₁C．

∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴ 點E的坐標為（0，3）．

∴ 直線BE的解析式為．

由 解得 

∴ 點Q₁的坐標為（-2，5）．

如圖（4），過點C作CF⊥CB，交拋物線于點Q₂、交x軸于點F，連接BQ₂．

∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴ 點F的坐標為（-3，0）．

∴ 直線CF的解析式為．

由 解得 

∴點Q₂的坐標為（1，-4）．

綜上，在拋物線上存在點Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．

說明：如圖（4），點Q₂即拋物線頂點M，直接證明△BCM為直角三角形同樣得2分．