Question

如圖，已知：拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A、B、C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-1，4），又知C（-4，0）
（1）求此拋物線的解析式．
（2）設(shè)直線BD與y軸相交于點(diǎn)E，求線段AE的長(zhǎng)．
（3）設(shè)P（t，0）是線段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，用S表示四邊形CPED的面積．試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-1，4），代入解析式進(jìn)而得出a的值即可；
（2）在y=-

4

9

(x+1)2+4中令x=0得：y=

32

9

，再求出直線BD的解析式求出線段AE的長(zhǎng)即可；
（3）首先得出S_△PBE=

1

2

BP×OE=

1

2

（2-t）×

8

3

=

8

3

-

4

3

t，又S△BCD=

1

2

×6×4=12，即可得出四邊形CPED的面積S．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-1，4），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4又知拋物線過(guò)C（-4，0），
∴0=a（-4+1）²+4，
∴解得：a=-

4

9

，
∴此拋物線的解析式為y=-

4

9

(x+1)2+4．

（2）在y=-

4

9

(x+1)2+4中令x=0得：y=

32

9

，
∴A（0，

32

9

），∴OA=

32

9

，
當(dāng)0=-

4

9

（x+1）²+4，
解得：x₁=-4，x₂=2，
可求得B（2，0）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
得

0=2k+b 4=-k+b

，
解得

k=- 4 3 b= 8 3

，
故直線BD的解析式為：y=-

4

3

x+

8

3

，
∵當(dāng)x=0，y=

8

3

，
∴E（0，

8

3

），
∴線段AE的長(zhǎng)=

32

9

-

8

3

=

8

9

．

（3）如圖，
∵P（t，0）是線段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴BP=2-t
∴S_△PBE=

1

2

BP×OE=

1

2

（2-t）×

8

3

=

8

3

-

4

3

t，
又S△BCD=

1

2

×6×4=12，
∴四邊形CPED的面積S=

28

3

+

4

3

t（-4＜t＜2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，根據(jù)直線BD的解析式是解題關(guān)鍵．