【題目】已知拋物線y=x2+bx﹣3(b是常數(shù))經(jīng)過點A(﹣1,0).

(1)求該拋物線的解析式和頂點坐標;

(2)P(m,t)為拋物線上的一個動點,P關(guān)于原點的對稱點為P'.

當(dāng)點P' 落在該拋物線上時,求m的值;

當(dāng)點P' 落在第二象限內(nèi),P'A2取得最小值時,求m的值.

【答案】(1)(1,-4)(2)

【解析】試題分析

(1)把點A(-1,0)代入拋物線y=x2+bx﹣3解得b的值,即可得到拋物線的解析式;把所得解析式配方化為“頂點式”即可得到拋物線的頂點坐標;

(2)①由點P的坐標(m,t)可得點P′的坐標為(-m,-t),把兩點的坐標分別代入(1)中所求拋物線的解析式可得:t=m2﹣2m﹣3,t=﹣m2﹣2m+3,由此可得m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3,解此方程即可求得m的值;

P(m,t)在拋物線上可得m2﹣2m=t+3結(jié)合A(﹣1,0),P′(﹣m,﹣t可得P′A2=(﹣m+1)2+(﹣t)2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=(t+2+P′(﹣m,﹣t)在第二象限,拋物線頂點坐標為(1,-4)可求得﹣4≤t<0,由此可得當(dāng)t=﹣時,P′A2有最小值,把t=﹣代入 t=﹣m2﹣2m+3解方程即可求得此時m的值.

試題解析

(1)∵拋物線y=x2+bx﹣3經(jīng)過點A(﹣1,0),

∴0=1﹣b﹣3,解得b=﹣2,

拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3,

∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

拋物線頂點坐標為(1,﹣4);

(2)①P(m,t)在拋物線上可得t=m2﹣2m﹣3,

P′P關(guān)于原點對稱,

∴P′(﹣m,﹣t),

P′落在拋物線上,

∴﹣t=(﹣m)2﹣2(﹣m)﹣3,即t=﹣m2﹣2m+3,

∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3,解得m=m=﹣

由題意可知P′(﹣m,﹣t)在第二象限,

∴﹣m<0,﹣t>0,即m>0,t<0,

拋物線的頂點坐標為(1,﹣4),

∴﹣4≤t<0,

∵P在拋物線上,

∴t=m2﹣2m﹣3,

∴m2﹣2m=t+3,

∵A(﹣1,0),P′(﹣m,﹣t),

∴P′A2=(﹣m+1)2+(﹣t)2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=(t+2+

當(dāng)t=﹣時,P′A2有最小值,

∴﹣=m2﹣2m﹣3,解得m=m=,

∵m>0,

∴m=不合題意,舍去,

∴m的值為

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