Question

【題目】如圖，直線y =－x+4與x軸，y軸分別交于點B，C，點A在x軸負半軸上，且OA=OB, 拋物線y =ax2+bx+4經過A，B，C三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，設點P的橫坐標為m，過點P作PD⊥BC，垂足為D，用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD的最大值；

（3）設點E為拋物線對稱軸與直線BC的交點，若A，B，E三點到同一直線的距離分別是d1，d2，d3，問是否存在直線l，使得d1= d2=d3? 若存在，請直接寫出d3的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+ x+4；（2）當m=2時，PE最大，最大值為；（3）存在，滿足題意的d3的值為2或6或．

【解析】

（1）由直線y=-x+4得出B（4，0），C（0，4），即可得出A（-2，0），將A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；

（2）已知P點橫坐標，根據直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標，由此得到線段PC的長；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根據平行線的性質得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表達式，利用二次函數的性質求出PD的最大值即可．

（3）見解析.

解:（1）由y=－x+4得 當x=0時，y=4； 當y=0時，x=4．

∴ B(4，0) ， C(0，4)， ∴ OB=4．

∴ OA=OB=2， ∴ 點 A(－2，0)．

把A(－2，0)，B(4，0)分別代入拋物線y=ax2+bx+4中，得

解得

∴ 拋物線的解析式為 y=－x2+ x+4．

（2）∵ 點P的橫坐標為m，則P(m，－m2+ m+4)．

過點P作PF∥y軸交BC于點F，則F(m，－m+4) ．

∴ PF=－m2+ m+4－(－m+4)=－m2+2m．

在Rt△OBC中，OB=4，OC=4．

又 PF∥y軸， ∴ ∠PFD=∠OCB=45°．

∴ PD=PF·sin∠PFD= PF·sin∠OCB =(－m2+2m)=－img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/10/22/06/64e53364/SYS202010220603483477190214_DA/SYS202010220603483477190214_DA.008.png" width="28" height="45" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />(m－2)2+．

∵ 0＜m＜4，－＜0，∴ 當m=2時，PE最大，最大值為．

（3）存在，∵y=－x2+ x+4=－（x-1）+，

∴C點坐標為（1,3），

如圖，d1= d2=d3 ，

滿足題意的d3的值為2或6或．