【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC,CD上,且BE=DF,點(diǎn)PAF的中點(diǎn),點(diǎn)Q是直線ACEF的交點(diǎn),連接PQ,PD.

(1)求證:AC垂直平分EF;

(2)試判斷PDQ的形狀,并加以證明;

(3)如圖2,若將CEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°,其余條件不變,則(2)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)PDQ是等腰直角三角形;理由見(jiàn)解析(3)成立;理由見(jiàn)解析.

【解析】試題(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,∠BCA=∠DCA=45°,由BE=DF,得出CE=CF△CEF是等腰直角三角形,即可得出結(jié)論;

2)由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=AFPQ=AF,得出PD=PQ,再證明∠DPQ=90°,即可得出結(jié)論;

3)由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=AFPQ=AF,得出PD=PQ,再證明點(diǎn)AF、Q、P四點(diǎn)共圓,由圓周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°,即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,∠BCA=∠DCA=45°,

∵BE=DF,

∴CE=CF

∴AC垂直平分EF;

2)解:△PDQ是等腰直角三角形;理由如下:

點(diǎn)PAF的中點(diǎn),∠ADF=90°,

∴PD=AF=PA,

∴∠DAP=∠ADP

∵AC垂直平分EF,

∴∠AQF=90°,

∴PQ=AF=PA

∴∠PAQ=∠AQP,PD=PQ,

∵∠DPF=∠PAD+∠ADP,∠QPF=∠PAQ+∠AQP,

∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2∠PAD+∠PAQ=2×45°=90°,

∴△PDQ是等腰直角三角形;

3)成立;理由如下:

點(diǎn)PAF的中點(diǎn),∠ADF=90°

∴PD=AF=PA,

∵BE=DF,BC=CD,∠FCQ=∠ACD=45°,∠ECQ=∠ACB=45°,

∴CE=CF,∠FCQ=∠ECQ

∴CQ⊥EF,∠AQF=90°

∴PQ=AF=AP=PF,

∴PD=PQ=AP=PF,

點(diǎn)AF、QP四點(diǎn)共圓,

∴∠DPQ=2∠DAQ=90°,

∴△PDQ是等腰直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,∠A=90° DAB邊上一點(diǎn),且DB=DC,過(guò)BC上一點(diǎn)P(不包括BC二點(diǎn))作PEAB,垂足為點(diǎn)E, PFCD,垂足為點(diǎn)F,已知ADDB=14,BC= ,求PE+PF的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批課外讀物,為了了解學(xué)生對(duì)課外讀物的需求情況,學(xué)校進(jìn)行了一次我最喜愛(ài)的課外讀物的調(diào)查,設(shè)置了文學(xué)、科普、藝術(shù)其他四個(gè)類(lèi)別,規(guī)定每人必須并且只能選擇其中一類(lèi),現(xiàn)從全體學(xué)生的調(diào)查表中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的調(diào)查表進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并把統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

(1) 從全體學(xué)生的調(diào)查表中隨機(jī)抽取了多少名學(xué)生?

(2) 將條形圖補(bǔ)充完整;

(3) 藝術(shù)類(lèi)讀物所在扇形的圓心角是多少度?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,AD的中點(diǎn),

且∠ABM=∠BAM,連接BM,MN,BN.

(1)求證:BM=MN;

(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BCCD上,如果AE=4EF=3,AF=5,那么正方形ABCD的面積等于_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,矩形中,,.點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),以為一邊在的右下方作正方形.同時(shí)垂直于的直線以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)________.秒時(shí),直線和正方形開(kāi)始有公共點(diǎn)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】將一列有理數(shù)﹣1,2,﹣3,4,﹣5,6,…如圖所示有序排列,根據(jù)圖中的排列規(guī)律可知,“峰1”中峰頂?shù)奈恢茫?/span>C的位置)是有理數(shù)4,那么,“峰6”中C的位置是有理數(shù)_____,﹣2019應(yīng)排在A、B、CD、E中的_____位置.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】有大小兩種盛酒的桶,已知10個(gè)大桶加上2個(gè)小桶可以盛酒6(斛,音hu,是古代的一種容量單位),3個(gè)大桶加上15個(gè)小桶也可以盛酒6斛.

1)求1個(gè)大桶可盛酒多少斛?

2)分析2個(gè)大桶加上3個(gè)小桶可以盛酒2斛嗎?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,反比例函數(shù) 的圖象與正比例函數(shù) 的圖象相交于(1,),兩點(diǎn),點(diǎn)在第四象限, 軸,.

(1)的值及點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案