Question

2．已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D（1，3），并經(jīng)過點(diǎn)A（X₀，0），2≤X₀≤6，其中a、b、c為常數(shù)，
（1）求常數(shù)a的取值范圍；
（2）若等腰三角形△DEF的E、F在拋物線上，DE=DF，且△DEF的面積為-8a，且EF到x軸的距離等于2，求該拋物線的解析式；
（3）若a=-1，拋物線與y軸于C點(diǎn)，B（2，0），P是線段OB上的動點(diǎn)，把射線CP逆時針旋轉(zhuǎn)45°成為射線CQ，在射線CQ、CP上是否存在點(diǎn)M、N使得BM+MN+NB最小？如果存在，當(dāng)使得BM+MN+NB最小時，求由BM、MN、NB組成的三角形面積的最大值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+3，當(dāng)拋物線經(jīng)過A（2，0）或（6，0）時求出a的值即可確定a的范圍．
（2）根據(jù)條件可以知道F（1-8a，2）代入設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+3即可求出a．
（3）作點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)B′，點(diǎn)B關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)B″，連接B′B″分別交CQ、CP于點(diǎn)M、N，此時BM+MN+BN最小，通過證明這個最小值是定值為4，然后證明△BMN是直角三角形，題目轉(zhuǎn)化為求周長為4的直角三角形的面積的最大值了，利用不等式的性質(zhì)可以解決．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D（1，3），可以設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+3，
當(dāng)經(jīng)過A（2，0）時，得到a=-3，
當(dāng)經(jīng)過A（6，0）時，得到a=-$\frac{3}{25}$，
∴-3≤a≤-$\frac{3}{25}$．
（2）∵△DEF的面積為-8a，且EF到x軸的距離等于2，
∴$\frac{1}{2}$•EF•1=-8a，
∴EF=-16a，
∴F（1-8a，2）代入拋物線為y=a（x-1）²+3，
∴2=64a³+3
a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線為y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+3．
（3）存在．
如圖作點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)B′，點(diǎn)B關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)B″，連接B′B″分別交CQ、CP于點(diǎn)M、N．
此時BM+MN+BN最小，
∵∠MCB=∠MCB′，∠NCB=∠NCB″，CB=CB′=CB″=2$\sqrt{2}$，NB=NB″，MB=MB′，
∴∠B′CB″=2∠MCN=2×45°=90°，B′B″=$\sqrt{2}$CB′=4，
∴BM+NB+MN的最小值=4．
∵∠B′=∠B″=45°，
∴∠CBM=∠CBN=45°，
∴∠MBN=90°，
∴MN²=BM²+BN²，MN+BM+BN=4，
設(shè)BM=a，BN=b，MN=c，
∵a+b+c=4，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，
∴2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$≤4，
∴$\sqrt{ab}$≤2（2-$\sqrt{2}$）
∴ab≤24-16$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$ab≤12-8$\sqrt{2}$，
∴由BM、MN、NB組成的三角形面積的最大值為12-8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)、對稱的性質(zhì)、三角形的面積、最小值問題、勾股定理等知識，學(xué)會利用對稱找到BM+MN+NB最小時的位置，利用不等式性質(zhì)確定周長為定值的直角三角形面積的最大值，是這個題目的難點(diǎn)．