Question

如圖△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，過D作DE⊥AB，垂足為E點(diǎn)．
（1）求證：AB=AC+CD；
（2）已知AC=4cm，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AAS可以證明△ACD≌△AED，得AE=AC，DE=CD．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得∠B=45°，則∠BED=45°，從而證明DE=BE，則AB=AC+CD；
（2）設(shè)CD=xcm，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得BD=xcm，再根據(jù)AC=BC列方程求解．
解答：（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠EAD．
又∠AED=∠C=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED．
∴AE=AC，DE=CD．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°．
∴∠BDE=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

（2）解：設(shè)CD=xcm，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得BD=xcm．
又AC=BC，
∴x+x=4，
x=4-4．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及一元一次方程的知識(shí)．