Question

13．正方形ABCD，以AC為邊作平行四邊形ACEF，且∠ECB=15°，F(xiàn)E的延長線交AB于B，在AC上截取CG=BC，連接BG并延長交CD的延長線于點(diǎn)H．
（1）若AB=4，求線段EC的長；
（2）探究線段CH、AD、EF之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）作EN⊥AC、BM⊥AC垂足分別為N、M，先求出BM，再證明EN=BM，在RT△ECN中利用勾股定理即可解決．
（2）設(shè)正方形ABCD邊長為4a，由AB∥CH得$\frac{AB}{CH}$=$\frac{AG}{CG}$，求出CH，即可發(fā)現(xiàn)DH=EF．由此解決問題．

解答 解；（1）如圖作EN⊥AC、BM⊥AC垂足分別為N、M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=BC=4，∠ABC=90°，∠BAC=∠ACB=45°，AC=4$\sqrt{2}$，∵BM⊥AC，
∴AM=MC，BM=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∵四邊形ACEF是平行四邊形，
∴AC∥BF，
∵EN∥BM，
∴四邊形BENM是平行四邊形，
∴EN=BM=2$\sqrt{2}$，
在RT△ECN中，∵∠ENC=90°，∠ECN=∠ACB-∠ECB=30°，
∴EC=2EN=4$\sqrt{2}$．
（2）設(shè)正方形ABCD邊長為4a，則CG=BC=4a，AC=4$\sqrt{2}$a，AG=4$\sqrt{2}$a-4a，
∵AB∥CH
∴$\frac{AB}{CH}$=$\frac{AG}{CG}$，
∴$\frac{4a}{CH}$=$\frac{4\sqrt{2}a-4a}{4a}$，
∴CH=4a+4$\sqrt{2}$a，
∴DH=CH-CD=4$\sqrt{2}$a，
∵四邊形ACEF是平行四邊形，
∴AC=EF=4$\sqrt{2}$a，
∴DH=EF，
∴CH=CD+DH=AD+EF．

點(diǎn)評 本題考查正方形性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，學(xué)會設(shè)未知數(shù)，表示相應(yīng)線段的方法，找到線段之間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考�？碱}型．