Question

8．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們要學(xué)會總結(jié)，不斷地歸納，思考和運用，這樣才能提高我們解決問題的能力，下面這個問題大家一定似曾相識：
（1）比較大�。孩�2+3＞2$\sqrt{2×3}$；②3+$\frac{1}{4}$＞2$\sqrt{3×\frac{1}{4}}$；③8+8= 2$\sqrt{8×8}$；
（2）通過上面三個計算，我們可以初步對任意的非負(fù)實數(shù)a，b做出猜想：a+b≥2$\sqrt{ab}$；
（3）思考驗證：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，CO為AB邊上的中線，AD=2a，DB=2b，試根據(jù)圖形證明上述不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，并指出等號成立的條件．
（4）探索應(yīng)用：如圖2有一個等腰梯形工件（厚度不計），其面積為7200cm²，現(xiàn)在要用細(xì)包裝帶如圖那樣包扎（虛線表示包裝帶，四點為四邊中點），則至少需要包裝帶的長度為240$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 （1）利用平方法比較大�。▋蓚�都是非負(fù)數(shù)）即可；
（2）由于a，b為非負(fù)數(shù)，利用作差法先比較它們的平方，再結(jié)合a²≥0，即可；
（3）利用射影定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；
（4）利用梯形的面積公式和前面得到的結(jié)論，即可．

解答 解：（1）①∵（2+3）²=25，（2$\sqrt{2×3}$）=4×6=24，
而25＞24，
∴2+3＞2$\sqrt{2×3}$，
②∵（3+$\frac{1}{4}$）²=$\frac{169}{16}$，（2$\sqrt{3×\frac{1}{4}}$）²=3，
而$\frac{169}{16}$＞3，
∴3+$\frac{1}{4}$＞$\sqrt{3×\frac{1}{4}}$，
③∵8+8=16，2$\sqrt{8×8}$=2×8=16，
∴8+8=2$\sqrt{8×8}$；
故答案為＞，＞，=；
（2）∵對任意的非負(fù)實數(shù)a，b，
∴（a+b）²-（2$\sqrt{ab}$）²=a²+b²+2ab-4ab=a²+b²-2ab=（a-b）²；
∵（a-b）²≥0，
∴（a+b）²-（2$\sqrt{ab}$）²≥0，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$；
（3）根據(jù)射影定理得到：CD²=AD×BD，
∵AD=2a，BD=2b，
∴CD²=4ab，
∴CD=2$\sqrt{ab}$，
∵CO是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴OC=$\frac{1}{2}$（AD+BD）=$\frac{1}{2}$（2a+2b）=a+b，
Ⅰ、當(dāng)直角三角形不為等腰直角三角形時，
∵OC是Rt△OCD斜邊，
∴OC＞CD，
∴a+b＞2$\sqrt{ab}$
Ⅱ、當(dāng)直角三角形是等腰直角三角形時，點C，D重合，
∴OC=CD，
∴a+b=2$\sqrt{ab}$
即：OC≥CD，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$；
故答案為a+b≥2$\sqrt{ab}$（當(dāng)a=b時，取等號）；
（4）設(shè)EG=a，F(xiàn)H=b，
根據(jù)梯形面積公式得，ab=7200，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{7200}$=120$\sqrt{2}$，
∴a+b的最小值為60$\sqrt{2}$，
∴包裝帶至少需要2（a+b）=2×120$\sqrt{2}$=240$\sqrt{2}$cm．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了比較無理數(shù)大小的一種方法（針對兩個非負(fù)數(shù)，平方大的它也大），射影定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，用平方法比較無理數(shù)大小的方法是解本題的關(guān)鍵，用幾何圖形證明結(jié)論是本題的難點．