Question

如圖1，矩形MNPQ中，點(diǎn)E、F、G、H分別在NP、PQ、QM、MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2、圖3、圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4，BC=8．

理解與作圖：

（1）在圖2、圖3中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，試?yán)�用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．

計(jì)算與猜想：

（2）求圖2、圖3中反射四邊形EFGH的周長(zhǎng)，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)是否為定值？

啟發(fā)與證明：

（3）如圖4，為了證明上述猜想，小明同學(xué)嘗試延長(zhǎng)GF交BC的延長(zhǎng)線于M，試?yán)�用小明同學(xué)給我們的啟發(fā)，再添加適當(dāng)?shù)妮o助線證明（2）中的猜想．

Answer 1

（1）解：作圖如下：

…………………………………………………………………………………………（2分）

（2）解：在圖2中，EF=FG=GH=HE=

∴EF=MF，EC=MC

同理：NH=EH，NB=EB

∴MN=2BC=16

∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠N=90°﹣∠3

∴∠M=∠N．∴GM=GN

過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則KM=MN=8

∴

∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為2GM=8………………………………………………（12分）

證法二：∵∠1=∠2，∠1=∠5

∴∠2=∠5

而FC=FC

∴Rt△FCE≌Rt△FCM

∴EF=MF，EC=MC

∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠HEB=90°﹣∠4

而∠1=∠4

∴∠M=∠HEB

∴HE∥GF

同理：GH∥EF

∴四邊形EFGH是平行四邊形

∴FG=HE

而∠1=∠4

∴Rt△FDG≌Rt△HBE

∴DG=BE

過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8

∴

∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為2GM=8………………………………………………（12分）