Question

【題目】如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．

（1）求直線BD的解析式；

（2）如圖②，點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時(shí)，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；

（3）將拋物線沿直線AC平移，點(diǎn)A，C平移后的對應(yīng)點(diǎn)為A′，C'．在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)H，當(dāng)以點(diǎn)B，A'，C'，H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，在直線AC上方找一個(gè)滿足條件的點(diǎn)H，與直線AC下方所有滿足條件的點(diǎn)H為頂點(diǎn)的多邊形為軸對稱圖形時(shí)，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1；（2）點(diǎn)G（，），最小值為；（3）（3，1）、（+1，3﹣）、（1﹣，3+）、（5+，﹣﹣1）、（5﹣，﹣1）．

【解析】

（1）令-x2+x+4=0，可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，令x=0，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D時(shí)AC的中點(diǎn)，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．（2）求三角形的面積最值可以轉(zhuǎn)化為求線段長度的最大值，利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可將不共線的線段轉(zhuǎn)換為共線的線段長度．（3）理解題意利用軸對稱圖形就是找等腰三角形，再分情況討論即可．

解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴B（﹣2，0），A（4，0），

令x＝0，y＝4，

∴C（0，4），

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴D（2，2），

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入點(diǎn)B和點(diǎn)D，

，

解得，

∴直線BD的解析式為y＝x+1．

（2）如圖所示

過點(diǎn)P作y軸的平行線，交BE交于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+t+4），

則點(diǎn)H為（t， t+1），

∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，

當(dāng)t＝時(shí)，PH最大，此時(shí)點(diǎn)P為（，），

當(dāng)PH最大時(shí)，△PDF的面積也最大．

∵直線BD的解析式為y＝x+1，

令x＝0，y＝1，∴點(diǎn)F（0，1），

在Rt△BFO中，根據(jù)勾股定理，BF＝，

∴sin∠FBO＝

過點(diǎn)E作x軸的平行線與過點(diǎn)G作y軸的平行線交于點(diǎn)M，

∴∠MEG＝∠FBO，

∴MG＝EGsin∠MEG＝EG，

∴PG﹣GE＝PG﹣MG，

當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，PG﹣MG＝PM，否則都大于PM，

∴當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，PG﹣MG最小，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，

令﹣x2+x+4＝x+1，

解得x1＝3，x2＝﹣2，

∴點(diǎn)E（3，），

∴PM＝﹣＝，

∴點(diǎn)G（，），

∴點(diǎn)G（，），PG﹣GE的最小值為．

（3）如圖所示，

當(dāng)以點(diǎn)B，A'，C'，H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，

在直線AC下方的點(diǎn)H只有兩個(gè)，點(diǎn)H1和點(diǎn)H2，

過點(diǎn)B作AC的平行線交y軸于點(diǎn)G，∴G（0，﹣2）

∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（0，4），

∴AC＝4，

∴BH1＝BH2＝4，

∵∠CAO＝45°，

∴H1（﹣6，4），H2（2，﹣4），

在y軸上截取點(diǎn)E，使EC＝CG，則點(diǎn)E（0，10），

過點(diǎn)E作AC的平行線，則在直線AC上方的點(diǎn)H一定在這條平行線上，

當(dāng)△H1H2H3為等腰三角形時(shí)即為軸對稱圖形，

①當(dāng)H1H3＝H2H3時(shí)，

直線EH3的解析式為y＝﹣x+10，

設(shè)H3（m，﹣m+10），

H1H3＝，

H2H3＝，

解得m＝4，∴H3（4，6），

∴A′（3，1）．

②當(dāng)H1H3＝H1H2時(shí)，

∵H1H3＝，H1H2＝8，

解得m1＝2，m2＝﹣2，此時(shí)點(diǎn)H3（2，10﹣2）或（﹣2，10+2），

∴A′（+1，3﹣）或（1﹣，3+）．

③當(dāng)H2H3＝H1H2時(shí)，

∵H2H3＝，H1H2＝8，

解得m1＝8+2，m2＝8﹣2，此時(shí)點(diǎn)H3（8+2，2﹣2）或（8﹣2，2+2），

∴A′（5+，﹣﹣1）或（5﹣，﹣1）．

綜上所述，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，1）、（+1，3﹣）、（1﹣，3+）、（5+，﹣﹣1）、（5﹣，﹣1）．