Question

13．如圖，已知⊙O中，P是半圓AB上一動(dòng)點(diǎn)，C是AB延長線上一點(diǎn)，PC=PA
（1）如果BC=OA，求證：PC是⊙O的切線；
（2）設(shè)AB=8，AP=x，當(dāng)直線PC與⊙O相交時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）只需證明OP⊥CP即可；
（2）分兩種情況：①當(dāng)PC和PB重合時(shí)，證得△ACP是等腰直角三角形，即可求得AP=4$\sqrt{2}$，②當(dāng)PC與⊙O相切時(shí)，證得△OPB是等邊三角形，即可求得AP=4$\sqrt{3}$，從而求得x的取值范圍．

解答 （1）證明：連接OP，BP，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∵PA=PC，
∴∠A=∠C，
∵BC=OA，
∴AB=OC，
在△APB和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC}\\{∠A=∠C}\\{AB=OC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CPO（SAS），
∴∠OPC=∠APB=90°，
即OP⊥PC，
∴PC是⊙O的切線．
（2）當(dāng)PC和PB重合時(shí)，
∵PC=PA，
∴△ACP是等腰直角三角形，
∵AC=AB=8，
∴AP=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)PC與⊙O相切時(shí)，∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∵PA=PC，
∴∠A=∠C，
在△APB和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{PA=PC}\\{∠APB=∠CPO=90°}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CPO（ASA），
∴OP=BP，
∴OP=BP=OB，
∴△OPB是等邊三角形，
∴∠ABP=60°，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)直線PC與⊙O相交時(shí)，求x的取值范圍上4$\sqrt{2}$＜x＜4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．