Question

3．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為菱形；
（2）連接AE、BE，求證：AE=BE．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行四邊形的判定得出四邊形DOCE是平行四邊形，進而利用矩形的性質(zhì)得出DO=CO，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，進而利用全等三角形的判定得出．

解答 證明：
（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形DOCE是平行四邊形，
∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=OD，
∴四邊形OCED為菱形；

（2）∵四邊形OCED為菱形，
∴ED=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)進而得出對應線段關系是解題關鍵．