【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與X軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)B處的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于c(0,﹣3),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求出二次函數(shù)的解析式;
(2)連接PO、PC,并將△POC沿y軸對(duì)折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使得四邊形POP′C為菱形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若存在,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?求出此時(shí)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
【答案】
(1)解:把B(3,0)、C(0,﹣3)代入y=x2+bx+c,得
,解得 ,
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣3
(2)解:存在.理由如下:
如圖1中,作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P,垂足為點(diǎn)E.
則PO=PC,
∵△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,
∴OP′=OP,CP′=CP,
∴OP′=OP=CP′=CP,
∴四邊形POP′C為菱形,
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣3),
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣ ),
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣ ,
把y=﹣ 代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣ ,
解得x= ,
∵點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上,
∴x= ,
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,﹣ ).
(3)解:如圖2中,作PF⊥x軸于F點(diǎn),交BC于E點(diǎn),BC的解析式為y=x﹣3,設(shè)E(m,m﹣3),P(m,m2﹣2m﹣3).
,
PE=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣ )2+ ,
S△BCP=S△BEP+SCEP= PE×FB+ EPOF
= EPOB
= ×3[﹣(m﹣ )2+ ]
=﹣ (m﹣ )2+ ,
∵﹣ <0,
∴當(dāng)m= 時(shí),S最大= ,
此時(shí)P( ,﹣ );
∵A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),
∵四邊形ACPB的面積=△ABC的面積+△PBC的面積,△ABC的面積= ×4×3=6=定值,
∴當(dāng)△PBC的面積最大時(shí),四邊形ACPB的面積最大,最大值為6+ =
【解析】1)將點(diǎn)B、C代入y=x2+bx+c可得到關(guān)于b、c的方程組,解方程組求即可。
(2)作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P,則PO=PC,根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP,CP′=CP,易證得四邊形POP′C為菱形,就可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo),將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,可求出對(duì)應(yīng)x的值,根據(jù)點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上,然后確定滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。
(3)添加輔助線,作PF⊥x軸于F點(diǎn),交BC于E點(diǎn),BC的解析式為y=x-3,設(shè)E(m,m-3),P′(m,m2-2m-3).根據(jù)S△BCP=S△BEP+SCEP,構(gòu)建s與m的二次函數(shù),求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),求出△PBC的面積的最大值,即可解決問題。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法),還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形( 。
A. , B. ,
C. , D. ,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底120米,下底180米,上下底相距80米,在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等.設(shè)甬道的寬為x米.
(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積;
(2)當(dāng)三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時(shí),求甬道的寬;
(3)根據(jù)設(shè)計(jì)的要求,甬道的寬不能超過6米.如果修建甬道的總費(fèi)用(萬元)與甬道的寬度成正比例關(guān)系,比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元,那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時(shí),所建花壇的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣6,3),B(﹣4,1),C(﹣1,1).
(1)如圖1,順次連接AB,BC,CA,得△ABC.
①點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)是 , 點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B1的坐標(biāo)是;
②畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A2B2C2;
③tan∠A2C2B2=;
(2)利用四邊形的不穩(wěn)定性,將第二象限部分由小正方形組成的網(wǎng)格,變化為如圖2所示的由小菱形組成的網(wǎng)格,每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)仍為1個(gè)單位長(zhǎng)度,且較小內(nèi)角為60°,原來的格點(diǎn)A,B,C分別對(duì)應(yīng)新網(wǎng)格中的格點(diǎn)A′,B′,C′,順次連接A′B′,B′C′,C′A′,得△A′B′C′,則tan∠A′C′B′= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)對(duì)某種商品進(jìn)行銷售,第x天的銷售單價(jià)為m元/件,日銷售量為n件,其中m,n分別是x(1≤x≤30,且x為整數(shù))的一次函數(shù),銷售情況如表:
銷售第x天 | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | … | 第30天 |
銷售單價(jià)m(元/件) | 49 | 48 | 47 | 46 | … | 20 |
日銷售量n(件) | 45 | 50 | 55 | 60 | … | 190 |
(1)觀察表中數(shù)據(jù),分別直接寫出m與x,n與x的函數(shù)關(guān)系式: , ;
(2)求商場(chǎng)銷售該商品第幾天時(shí)該商品的日銷售額恰好為3600元?
(3)銷售商品的第15天為兒童節(jié),請(qǐng)問:在兒童節(jié)前(不包括兒童節(jié)當(dāng)天)銷售該商品第幾天時(shí)該商品的日銷售額最多?商場(chǎng)決定將這天該商品的日銷售額捐獻(xiàn)給兒童福利院,試求出商場(chǎng)可捐款多少元?
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【題目】某廠生產(chǎn)上第世博會(huì)吉祥物:“海寶”紀(jì)念章10萬個(gè),質(zhì)檢部門為檢測(cè)這批紀(jì)念章質(zhì)量的合格情況,從中隨機(jī)抽查500個(gè),合格499個(gè)下列說法正確的是
A. 總體是10萬個(gè)紀(jì)念章的合格情況,樣本是500個(gè)紀(jì)念章的合格情況
B. 總體是10萬個(gè)紀(jì)念章的合格情況,樣本是499個(gè)紀(jì)念章的合格情況
C. 總體是500個(gè)紀(jì)念章的合格情況,樣本是500個(gè)紀(jì)念章的合格情況
D. 總體是10萬個(gè)紀(jì)念章的合格情況,樣本是1個(gè)紀(jì)念章的合格情況
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個(gè)足球的質(zhì)量以400克為標(biāo)準(zhǔn),用正數(shù)記超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù),用負(fù)數(shù)記不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)下面是5個(gè)足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果單位:克:,,,,.
寫出這5個(gè)足球的質(zhì)量;
請(qǐng)指出選用哪一個(gè)足球好些,并用絕對(duì)值的知識(shí)進(jìn)行說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為保護(hù)學(xué)生的身體健康,某中學(xué)課桌椅的高度都是按一定的關(guān)系(一次函數(shù))配套設(shè)計(jì)的,下表列出5套符合條件的課桌椅的高度. ①假設(shè)課桌的高度為ycm椅子的高度為xcm,請(qǐng)確定y與x的函數(shù)關(guān)系式;②現(xiàn)有一把高37cm的椅子和一張高71.5cm的課桌,它們是否配套?為什么?
椅子高度x(cm) | 45 | 42 | 39 | 36 | 33 |
桌子高度y(cm) | 84 | 79 | 74 | 69 | 64 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m+1,m﹣1).
(1)試判斷點(diǎn)P是否在一次函數(shù)y=x﹣2的圖象上,并說明理由;
(2)如圖,一次函數(shù)y=﹣ x+3的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,若點(diǎn)P在△AOB的內(nèi)部,求m的取值范圍.
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