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已知:如圖,∠C=2∠B,AC=
12
BC
,AD為△ABC中BC邊上的中線.
(1)若AE⊥BC于E,請(qǐng)你判斷線段DE與BC之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)AD•AE=20時(shí),求△ABD的面積.
分析:(1)作∠ACB的平分線CF交AB于F,連接FD,根據(jù)角平分線的定義以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)可以證明BF=CF,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CDF=90°,然后利用“邊角邊”證明△ACF和△DCF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CAF=∠CDF=90°,從而∠ACB=60°,得到△ACD是等邊三角形,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得證;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,AD=CD=BD,然后根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABD=
1
2
BD•AE=
1
2
AD•AE,代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.
解答:解:(1)線段DE與BC之間的數(shù)量關(guān)系是DE=
1
4
BC.
理由如下:如圖,作∠ACB的平分線CF,交AB于F,連接FD,
則∠1=∠2=
1
2
∠ACB,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠2=∠B,
∴FB=FC(在一個(gè)三角形中,等角對(duì)等邊),
∴△BFC為等腰三角形(等腰三角形的定義),
∵D為BC邊上的中點(diǎn),
∴∠CDF=90°(等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線互相重合),
∵AC=
1
2
BC,
∴BD=DC=AC,
在△ACF和△DCF中,
AC=DC
∠1=∠2
CF=CF

∴△ACF≌△DCF(SAS),
∴∠CAF=∠CDF=90°(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等),
∴∠1+∠2+∠B=90°,
即3∠1=90°,
解得∠1=30°,
∴∠ACB=60°,
又∵AC=CD,
∴△ADC為等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形).
∵AE⊥BC于E,
∴DE=
1
2
DC(等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線互相重合).
∴DE=
1
2
DC=
1
2
×
1
2
BC=
1
4
BC;

(2)由(1)可得AD=CD=BD,
∵AD•AE=20,
∴S△ABD=
1
2
BD•AE=
1
2
AD•AE=
1
2
×20=10.
答:△ABD的面積為10.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),證明得到∠CAF=90°,從而求出∠ACB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

2007年5月17日我市榮獲“國(guó)家衛(wèi)生城市稱號(hào)”.在“創(chuàng)衛(wèi)”過(guò)程中,要在東西方向M、N兩地之間修建一條道路.已知:如圖C點(diǎn)周?chē)?80m范圍內(nèi)為文物保護(hù)區(qū),在MN上點(diǎn)A處測(cè)得C在A的北偏東60°方向上,從A向東走500m到達(dá)B處精英家教網(wǎng),測(cè)得C在B的北偏西45°方向上.
(1)NM是否穿過(guò)文物保護(hù)區(qū)?為什么?(參考數(shù)據(jù):
3
≈1.732)
(2)若修路工程順利進(jìn)行,要使修路工程比原計(jì)劃提前5天完成,需將原定的工作效率提高25%,則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工作需要多少天?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

11、已知,如圖,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),分別以A、B為圓心的圓與x軸相切,則圖中兩個(gè)陰影部分面積的和為
π

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,∠1=∠2,
 
.求證:AB=AC.
(1)在橫線上添加一個(gè)使命題的結(jié)論成立的條件;
(2)寫(xiě)出證明過(guò)程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形ABCD,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),BC=2AB,P為
AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合),以點(diǎn)P為圓心作⊙P與對(duì)角線AC相切于點(diǎn)F,過(guò)P、F作直線L,交BC邊于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1位置時(shí),直線L恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,此時(shí)直線的解析式是y=2x+1,
(Ⅰ)求BC、AP1的長(zhǎng);
(Ⅱ)設(shè)AP=m,梯形PECD的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,寫(xiě)出自變量m的取值范圍;
(Ⅲ)以點(diǎn)E為圓心作⊙E與x軸相切,探究并猜想:⊙P和⊙E有哪幾種位置關(guān)系,并求出AP相應(yīng)的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
的圖象與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),與y軸交精英家教網(wǎng)于C點(diǎn),⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、C,點(diǎn)D是劣弧
OA
上一動(dòng)點(diǎn)(D點(diǎn)與A、O不重合).
(1)求拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)求⊙M的面積;
(3)連CD交AO于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CD至G,使FG=2,試探究,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),直線GA與⊙M相切,并請(qǐng)說(shuō)明理由.
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