Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn).

(1)如圖1，若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值.

(2)如圖2，若，，是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直按寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，CD=3或8或或．

【解析】

（1）本小題是典型的“將軍飲馬”問(wèn)題，只要作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE、DE，DE交AB于點(diǎn)M，如圖3，則此時(shí)的周長(zhǎng)最小，且最小值就是CD+DE的長(zhǎng)，由于CD易求，故只要計(jì)算DE的長(zhǎng)即可，由軸對(duì)稱的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得BE=BC=2，∠DBE=90°，然后根據(jù)勾股定理即可求出DE，問(wèn)題即得解決；

（2）由于點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，所以需分三種情況討論：①當(dāng)AB=AD時(shí)，如圖4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；②當(dāng)BD=BA時(shí)，如圖5，根據(jù)勾股定理和等腰三角形的定義求解；③當(dāng)DA=DB時(shí)，如圖6，設(shè)CD=x，然后在直角△ACD中根據(jù)勾股定理求解即可．

解：（1）作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE、DE，DE交AB于點(diǎn)M，連接CM，如圖3，則此時(shí)的周長(zhǎng)最�。�

∵，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴∠CBA=45°，BD=CD=1，

∵點(diǎn)C、E關(guān)于直線AB對(duì)稱，∴BE=BC=2，∠EBA=∠CBA=45°，∴∠DBE=90°，

∴．

∴的周長(zhǎng)的最小值=CD+DE=；

（2）由于點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，所以需分三種情況討論：

①當(dāng)AB=AD時(shí)，如圖4，此時(shí)CD=CB=8；

②當(dāng)BD=BA時(shí)，如圖5，在直線BC上存在兩點(diǎn)符合題意，即D1、D2，

∵，∴，；

③當(dāng)DA=DB時(shí)，如圖6，此時(shí)點(diǎn)D為線段AB的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)，設(shè)CD=x，則BD=AD=8－x，在直角△ACD中，根據(jù)勾股定理，得：，解得：x=3，即CD=3．

綜上，在直線BC上存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且CD=3或8或或．