Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k＜0）與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A、B兩點，一次函數(shù)的圖象與y軸相交于點C，已知點A（4，1）
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接OB（O是坐標原點），若△BOC的面積為3，求該一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（4，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴m=4×1=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y= ．

（2）

解：∵點B在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴設點B的坐標為（n， ）．

將y=kx+b代入y= 中，得：

kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，

∴4n=﹣ ，即nk=﹣1①．

令y=kx+b中x=0，則y=b，

即點C的坐標為（0，b），

∴S△BOC= bn=3，

∴bn=6②．

∵點A（4，1）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，

∴1=4k+b③．

聯(lián)立①②③成方程組，即 ，

解得： ，

∴該一次函數(shù)的解析式為y=﹣ x+3．

【解析】（1）由點A的坐標結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出m的值；
　　　　（2）設點B的坐標為（n， ），將一次函數(shù)解析式代入反比例函數(shù)解析式中，利用根與系數(shù)的關(guān)系可找出n、k的關(guān)系，由三角形的面積公式可表示出來b、n的關(guān)系，再由點A在一次函數(shù)圖象上，可找出k、b的關(guān)系，聯(lián)立3個等式為方程組，解方程組即可得出結(jié)論．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的問題、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出m的值；（2）根據(jù)各關(guān)系量找出關(guān)于k、b、n的三元一次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，但考到的知識點較多，解決該題型題目時，綜合根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式以及一次函數(shù)上點的坐標特征得出方程組是關(guān)鍵．