Question

已知正方形OABC如圖放置在平面直角坐標系中，B（4，4）．如圖1，若直角MPN的頂點P放置于正方形對角線邊AC、OB交點處，直角MPN繞頂點P 旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段OC、OA交于點M、N（不與點C、O、A重合）．在旋轉(zhuǎn)的過程中，易證：四邊形OMPN的面積為定值，且S_{四邊形OMPN}=4．
（1）如圖2，若直角MPN的頂點P放置于對角線OB上，且

BP

PO

=

1

3

，直角MPN繞頂點P旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段OC、OA交于點M、N（不與點C、O、A重合）．設CM=a，四邊形OMPN的面積為S，則S隨a的變化而變化嗎？若不變，請求出S的值；若變化，請求出S與a的關系式．
（2）如圖3，若直角MPN的頂點P放置于對角線AC上，且

CP

PA

=

1

3

，直角MPN繞頂點P旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段OC、OA交于點M、N（不與點C、O、A重合）．設CM=a，四邊形OMPN的面積為S=

 

． （直接寫出答案，不需證明；若S隨a的變化而不變，直接寫出S的值；若變化，直接寫出S與a的關系式．）

Answer 1

分析：（1）過點P作PE⊥OC于點E，作PF⊥OA于點F，利用OP平分∠COA，求證矩形EPFO為正方形，可得∠EPM=∠FPN，再求證△EPM≌△FPN，△OPE∽△OBC，利用其對應邊成比例即可求得．
（2）根據(jù)

BP

PO

=

1

3

，設CM=a，可直接求得四邊形OMPN的面積．

解答：證明：（1）過點P作PE⊥OC于點E，作PF⊥OA于點F，
∵OP平分∠COA，
∴PE=PF，
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴∠EPF=90°，四邊形EPFO為矩形，
∴矩形EPFO為正方形
∠EPF-∠MPF=∠MPN-∠MPF，
即∠EPM=∠FPN，
∴△EPM≌△FPN，
∴S_{四邊形OMPN}=S_{四邊形EPFO}=PE²
∵△OPE∽△OBC，
∴

PE

BC

=

OP

OB

，
∴PE=3，
∴S_{四邊形OMPN}=S_{四邊形EPFO}=9．
（2）S=4a-1．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，特別是旋轉(zhuǎn)問題是個難點，要求學生應具備一定的空間想象能力．