【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(3,0),B(0,1),C(2,2)三點.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設點D(,m )在二次函數(shù)的圖象上,將∠ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至∠FCE,使得射線CE與軸的正半軸交于點E,且經(jīng)過點D,射線CF與線段OA交于點F.求證:BE=2FO;
(3)是否存在點H(n,2),使得點A、D、H構(gòu)成的△ADH是直角三角形?若存在,有幾個符合條件的點H?(直接回答,不必說明理由)
【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為;
(2)證明見解析;
(3)存在4個符合條件的點H,使得點A、D、H構(gòu)成的△ADH是直角三角形.
【解析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;(2)證明Rt△NBC≌Rt△MAC和△ACF≌△BCE, 得出AF=BE,然后利用一次函數(shù)求出BE=2FO;(3)最后直接求出符合條件△ADH是直角三角形的點H.
(1)解:把A(3,0),B(0,1),C(2,2)代入,
得 ∴
∴二次函數(shù)的解析式為.
(2)過點C作CM⊥OA于點M,CN⊥y軸于點N,
∵A(3,0),B(0,1),C(2,2),
∴CM= CN=2,CA=CB=,
∴Rt△NBC≌Rt△MAC,
∴∠CAF=∠CBE,
∵將∠ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至∠FCE,
∴∠FCE=∠ACB,
∴∠FCE-∠BCF=∠ACB-∠BCF,
即∠ACF=∠BCE,
又∵CB=CA,∴△ACF≌△BCE,
∴AF=BE.
∵二次函數(shù)的解析式為,
當時, ,∴
設直線CD: ,把C(2,2)、代入得
, 解得,
∴直線CD: .
∴E(0,3),BE=2, ∴AF=BE=2 ,
∴FO=OA-AF=1.
∴BE=2FO.
(3)存在4個符合條件的點H,使得點A、D、H構(gòu)成的△ADH是直角三角形.
“點睛”本題考查了二次函數(shù)的綜合題,熟練掌握運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,根據(jù)題意利用一次函數(shù)求出BE=2FO是解答此題的關鍵.
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【題目】某市出租車收費標準:3 km以內(nèi)(含3 km)起步價為8元,超過3 km后每1 km加收1.8元.
(1)若小明坐出租車行駛了6 km,則他應付多少元車費?
(2)如果用s表示出租車行駛的路程,m表示出租車應收的車費,請你表示出s與m之間的數(shù)量關系(s>3).
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【題目】若將點(﹣1,3)向左平移2個單位,再向下平移4個單位得到點B,則B點坐標為( )
A. (﹣3,﹣1) B. (﹣1,﹣1) C. (﹣1,1) D. (﹣2,0)
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【題目】根據(jù)下面給出的數(shù)軸,解答下面的問題:
(1)請你根據(jù)圖中A、B兩點的位置,分別寫出它們所表示的有理數(shù)A:_____B:_____.
(2)觀察數(shù)軸,與點A的距離為4的點表示的數(shù)是:_____.
(3)若將數(shù)軸折疊,使得A點與﹣2表示的點重合,則B點與數(shù)_____表示的點重合.
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【題目】已知:無論取何值,多項式: 的值不變.請回答問題:
(1)請直接寫出a、b、c的值: = , = , = ;
(2)數(shù)軸上三個數(shù)所對應的點分別為A、B、C,點A、B、C同時開始在數(shù)軸上運動,若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒3個單位長度和4個單位長度的速度向右運動,假設秒鐘過后,若點B與點C之間的距離表示為BC,點A與點B之間的距離表示為AB,點A與點C之間的距離表示為AC.
①秒鐘過后,BC的長度為 (用含的關系式表示);
②請問:4AC﹣5AB的值是否隨著時間的變化而改變?若變化,請說明理由;若不變,請求其值.
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【題目】某校七年級有5名教師帶學生去公園秋游,公園的門票為每人30元,現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案,甲方案:帶隊教師免費,學生按8折收費;乙方案:師生都按7.5折收費.
(1)若有m名學生,則用式子表示兩種優(yōu)惠方案各需要多少元?
(2)當m為何值時,兩種方案一樣錢?(列方程計算)
(3)當m =100時,采用哪種方案優(yōu)惠?優(yōu)惠多少?
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