Question

如圖1，在平面直角坐標系中，有一矩形ABCD，其三個頂點的坐標分別為A（2，0）、B（8，0）、C（8，3）．將直線l：y=-3x-3以每秒3個單位的速度向右運動，設運動時間為t秒．

（1）當t=

 

時，直線l經過點A．（直接填寫答案）
（2）設直線l掃過矩形ABCD的面積為S，試求S＞0時S與t的函數(shù)關系式．
（3）在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標軸恰好都相切的⊙M，在直線l出發(fā)的同時，⊙M以每秒2個單位的速度向右運動，如圖2，則當t為何值時，直線l與⊙M相切？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）求得直線EF與x軸的交點坐標即可求得；
（2）分四種情況分別根據三角形的面積公式或梯形的面積公式即可得出面積S與時間t的函數(shù)關系式；
（3）根據直線EF的函數(shù)關系式y(tǒng)=-3（x-3t）-3得出直線MN的關系式，然后根據這兩個關系式求得交點坐標，進而求得圓心M與交點N的長，最后根據圓的切線的性質列出MN等于圓的半徑的關于t的方程，解這個方程即可求得．

解答：解：（1）令y=0，則0=-3x-3，
解得x=-1，
∴直線l：y=-3x-3與x軸的交點為（-1，0），
∵A（2，0），
∴3t=2-（-1），
解得：t=1；


（2）當1＜t≤

4

3

時，如圖1，直線l：y=-3x-3向右平移了3t個單位，則直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
把x=2代入得：y=9（t-1），
∴AE=9（t-1），
∵直線l：y=-3x-3平移到A點，距離為3，
∴AF=3t-3=3（t-1），
∴S=

1

2

AF•AE=

1

2

×3（t-1）×9（t-1）=

27

2

（t-1）²，
即S=

27

2

（t-1）²；

當

4

3

＜t≤3時，如圖2，∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
∴與CD的交點坐標E（3t-2，3），與x軸的交點F（3t-1，0），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，
∴S=

1

2

（3t-4+3t-3）×3=9t-

21

2

，
即S=9t-

21

2

；

當3＜t≤

10

3

時，如圖3，∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，
∴與CD的交點坐標E（3t-2，3），與x軸的交點F（3t-1，0），與BC的交點G（8，9t-27），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，BF=3t-1-8=3t-9，
∴S=

1

2

（3t-4+3t-3）×3-

1

2

（3t-9）（9t-27）=-

3

2

（3t-10）²+18，
即S=-

3

2

（3t-10）²+18；
當t＞

10

3

時，直線l掃過矩形ABCD的面積為S為矩形ABCD的面積，
即S=18；


（3）如圖4，∵直線EF為：y=-3（x-3t）-3，M（2t+3，3），
∴設直線MN的解析式為：y=

1

3

x+b，
把M代入求得：b=2-

2

3

t，
∴直線MN的解析式為：y=

1

3

x+2-

2

3

t，
解

y= 1 3 x+2- 2 3 t y=-3(x-3t)-3

 得：

x= 29t-15 10 y= 3t+15 10

，
∴N（

29t-15

10

，

3t+15

10

），
∵⊙M與直線相切，
∴MN=3，
∴（2t+3-

29t-15

10

）²+（3-

3t+15

10

）²=3²，
解得：t=5-

10

或t=5+

10

；
∴當t為5-

10

或5+

10

；時，直線l與⊙M相切．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．其中涉及到的知識點直線與x軸的交點，三角形、梯形的面積，圓的切線的性質等，難點在于（2）圖形的不同分情況討論，根據直線位置的不同分情況表示出圖形的面積．