Question

1．如圖，⊙O的半徑為1，A為⊙O上一點，過點A的直線l交⊙O于點B，將直線l繞點A旋轉180°，在旋轉過程中，AB的長度由1變?yōu)?\sqrt{3}$時，則l在圓內掃過的面積為$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 可先證明Rt△ACB≌Rt△B′CO，從而可知陰影部分的面積等于圓面積的$\frac{1}{6}$；如圖2，陰影部分的面積=圓的面積-S₁-S₂．

解答 解：如圖1，當點B運動到點B′的位置時，過點O作OC⊥AB′，
∵AB=AO=BO=1，
∴∠AOB=60°．
由垂徑定理可知：AC=CB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由銳角三角形函數(shù)的定義可知：sin∠AOC=$\frac{AC}{AO}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=60°．
∴點O、C、B在同一條直線上．
在Rt△ACB和Rt△B′CO中
∵$\left\{\begin{array}{l}AB=OB′\\ AC=CB′\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△B′CO（HL）．
∴直線AB掃過的面積=扇形BOB′的面積=$\frac{1}{6}$π×1²=$\frac{π}{6}$．
如圖2：當點B運動到點B′的位置時，過點O作OC⊥AB′，
∵AB=AO=BO=1，
∴∠AOB=60°．
∴S₂=扇形AOB的面積-△AOB的面積=$\frac{1}{6}$π×1²-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
S₁=扇形AOB′的面積-△AOB′的面積=$\frac{1}{3}$π×1²-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴直線AB掃過的面積=圓的面積-S₁-S₂=π-（$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）-（$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=π-$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{π}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查的是旋轉的性質，扇形的面積公式，將不規(guī)則圖形的面積轉為規(guī)則圖形的面積是解題的關鍵．