Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，且與AB相切于點(diǎn)E．

（1）求⊙O的半徑；

（2）如圖2，平移⊙O，使點(diǎn)O落在BD上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，BC與⊙O交于M，N，求MN2的值．

Answer 1

【答案】（1）5（2）160﹣206

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，連接EO，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接DO，設(shè)半徑為x．構(gòu)建方程即可解決問題．

（2）如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，則OD=ON=5，在Rt△OPN中，求出PN2即可解決問題．

試題解析：（1）連接EO，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接DO，設(shè)半徑為x．

∵AB切○O于E，

∴EF⊥AB，

∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，

∴∠OFD=90°，

在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴⊙O的半徑為5．

（2）如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，則OD=ON=5，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD=8，OB=BD﹣OD=8﹣5，OP==8﹣，

∴PN2=ON2﹣OP2=52﹣（8﹣）2=40﹣51.5，

∵MN=2PN，

∴MN2=4PN2=4（40﹣51.5）=160﹣206．