Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與交軸于點(diǎn)，表示當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，均有．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．當(dāng)的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若平行于軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或

【解析】

（1）根據(jù)題意即可求出拋物線的對(duì)稱軸，然后利用拋物線的對(duì)稱性即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出二次函數(shù)的解析式，化為一般式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)，即可用含m的式子表示EG，然后根據(jù)即可求出與m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

（3）根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別在每種情況下求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相等，將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解：（1）當(dāng)與時(shí)函數(shù)值相等，可知拋物線的對(duì)稱軸為，

由點(diǎn)的坐標(biāo)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)二次函數(shù)的解析式為

將點(diǎn)代入，得

所以，二次函數(shù)的解析式為．

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖

∵（4,0），， ，

∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2

∴AB=6

∵

∴

∵

∴

∴，即，

∴

∴

又∵

∴當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)

（3）存在．

①若，如下圖所示

則，

∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA

∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA

∴是直角三角形，OF⊥AC

∵OA=OC=4

∴點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)

∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵直線l∥x軸

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=2，將y=2代入二次函數(shù)解析式中，得

，

得，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或

②若，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

由等腰三角形的性質(zhì)得：，

∴，

在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°

∴△AMF也是等腰直角三角形

∴FM=AM=3

∴

∵直線l∥x軸

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=3，將y=3代入二次函數(shù)解析式中，得

由，得，

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或

③若，

∵，且

∴

∴點(diǎn)到的距離為

而

∴上不存在點(diǎn)使得

此時(shí)，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形

綜上，存在這樣的直線，使得是等腰三角形，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或