Question

【題目】林場要建一個果園（矩形ABCD），果園的一面靠墻（墻最大可用長度為30米），另三邊用木欄圍成，中間EF也用木欄隔開，分為甲、乙兩個場地，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄），木欄總長57米．設果園（矩形ABCD）的寬AB為x米，矩形ABCD的面積為S平方米．

（1）求S關于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．

（2）求果園能達到的最大面積S及相應x的值．

（3）若木欄BF比CF多10米，其余條件不變，甲場地種植葡萄，一季平均每平方米收益40元；乙場地種植益莓，一季平均每平方米收益160元．問該果園一季能達到的最大收益W為多少元？

Answer 1

【答案】（1）S=﹣3x2+60x ，10≤x＜20（2）300m2（3）24000元

【解析】

（1）由AB=x得出BC=60﹣3x，再根據(jù)矩形的面積公式可得函數(shù)解析式；

（2）將（1）中所得函數(shù)解析式配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質解答即可；

（3）由BC=60﹣3x且木欄BF比CF多10米得出BF=+5=35﹣1.5x，CF=﹣5=25﹣1.5x，根據(jù)“總收益=葡萄總收益+益莓總收益”列出函數(shù)解析式，繼而利用二次函數(shù)的性質求解可得．

（1）由題意可知，∵AB=x，

∴BC=60﹣3x．

∴S=x（60﹣3x）=﹣3x2+60x．

由BC=60﹣3x≤30，且60﹣3x＞0，

可得自變量x的取值范圍是：10≤x＜20．

（2）因為S=﹣3x2+60x=﹣3（x﹣10）2+300，

所以x=﹣=10m時，S最大值=300m2．

（3）∵BC=60﹣3x，即BF+CF=60﹣3x，

∴BF=+5=35﹣1.5x，CF=﹣5=25﹣1.5x．

∴W=40x（35﹣1.5x）+160x（25﹣1.5x）

=﹣300x2+5400x （10≤x＜），

x=﹣=9，但不在取值范圍內，

由函數(shù)增減性可知，當x=10m時，W最大=24000元．

答：該果園一季能達到的最大收益W為24000元．