Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過(guò)B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）當(dāng)BC=4,cosC=時(shí)，求⊙O的半徑.

Answer 1

解：(1) 連接OM，則OM＝OB

       ∴∠OBM=∠OMB

       ∵BM平分∠ABC

       ∴∠OBM=

       ∴∠OMB=∠EBM

       ∴OM∥BE

       ∴∠AMO=∠AEB

而在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分線

       ∴AE⊥BC

       ∴∠AMO=∠AEB=90°

       ∴AE與⊙O相切.     ------------ 4分

(2) 在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分線

         ∴BE=BC=2,∠ABC=∠ACB

         ∴在Rt⊿ABC中cos∠ABC=cos∠ACB==

 ∴AB=6           --------------2分

       設(shè)⊙O的半徑為r,則AO=6-r

       ∵OM∥BC

       ∴△AOM∽△ABE

       ∴=  即 =

        ∴r=            --------------4分