Question

如圖，在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、G、H分別為它們的交點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定

專題：證明題

分析：由在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分別是各內(nèi)角的平分線，易證得△ADF，△CGD，△BCH是等腰直角三角形，則可得∠EFG=∠FEH=∠EHG=90°，即可得四邊形EFGH是矩形，又可證得FG=HG，即可得四邊形EFGH是正方形．

解答：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AD=BC，
∵在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分別是各內(nèi)角的平分線，
∴∠ADF=∠FAD=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=

2

DF，∠AFD=90°，AF=DF，
∴∠EFG=90°，
同理：∠FEH=∠EHG=90°，DG=CG，BC=

2

CH，
∴四邊形EFGH是矩形，且DF=CH，
∴FG=HG，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的判定、矩形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．