Question

已知：二次函數(shù)y=ax²-4ax+b圖象，開口向上，且b＜0，與x軸的兩個交點分別為A、B，且滿足，（O為坐標原點），與y軸的交點為C（0，t），頂點的縱坐標為k，且滿足．
（1）求A、B兩點的坐標．
（2）求t的取值范圍．
（3）當t取最小值時，求出這個二次函數(shù)式．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)y=ax²-4ax+b的對稱軸為x=-=2，
∵=5①，
∴點A在對稱軸右邊，點B在對稱軸左邊，
∴|OA|-2=|OB|+2②，
聯(lián)立①②解得，|OA|=5，|OB|=1，
又∵5-2=3，
∴點A、B到對稱軸x=2的距離為3，
所以，A、B兩點的坐標分別為A（5，0），B（-1，0）；

（2）由|k-|≤得，k-≤或k-≥-，
解得k≤或k≥-3，
所以，k的范圍為-3≤k≤，
∵拋物線與y軸的交點為C（0，t），點A（-1，0）在拋物線上，
∴b=t，a+4a+b=0，
∴5a+t=0，
拋物線頂點縱坐標k==b-4a=t-4×（-t）=t，
∴-3≤t≤，
解得-≤t≤，
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∴t=-5a＜0，
∴t的取值范圍是-≤t＜0；

（3）t取最小值時，t=-，
此時，b=t=-，
∵5a+t=0，
∴a=，
∴這個二次函數(shù)式為y=x²-x-．
分析：（1）先求出拋物線的對稱軸為x=2，根據(jù)拋物線的對稱性可得|OA|-2=|OB|+2，計算求出|OA|、|OB|的長度，即可得到點A、B的坐標；
（2）解不等式得到k的取值范圍，再根據(jù)點A的坐標得到a、t的關系式，然后代入頂點縱坐標消掉字母a得到關于t的不等式，求解即可得到t的取值范圍；
（3）根據(jù)t的取值范圍得到t的最小值，再代入a、t的關系式求出a的值，代入二次函數(shù)表達式即可得解．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的對稱軸解析式的求解，函數(shù)的對稱性，頂點坐標的求解，以及解絕對值不等式，（2）題需要注意t二次函數(shù)與y軸的交點在y軸的負半軸，t與b的值相等，都是負數(shù)．